H08 Resonanz

Motivation

Überall, wo der Auslenkung eines (trägen) Objekts aus seiner Ruhelage ein "zurücktreibendes Moment" entgegenwirkt, kommt es zu Schwingungen. In der uns umgebenden Natur sind Schwingungen allgegenwärtig. Sie treten als universelles Phänomen auf, dessen mathematische Beschreibung, egal ob in der Mechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik, Biologie oder Regeltechnik, immer den gleichen Gesetzen folgt.

Ist das "zurücktreibende Moment" linear proportional zur Auslenkung, dann ist die resultierende Schwingungsgleichung geschlossen-analytisch lösbar. Aus der Vorlesung kennen Sie die kanonischen Fälle der ungedämpften und der linear gedämpften harmonischen Schwingungen, sowie der von außen angeregten (linear gedämpften) Schwingung. Jedes schwingende System schwingt mit seiner Eigenfrequenz \(\omega_{0}\), die durch die Größen von Trägheit und "zurücktreibendem Moment" vorgegeben ist. Bei von außen angeregten Schwingungen kommt es außerdem zum Phänomen der Resonanz, falls die anregende Frequenz \(\Omega\) ungefähr mit \(\omega_{0}\) zusammenfällt.

Der Begriff Resonanz leitet sich vom lateinischen Wort resonare (widerhallen) ab. Er stammt aus der Akustik, wo er das merkliche Mitschwingen von Saiten bei Tönen geeigneter Tonhöhe bezeichnet. Erstmals wurden Resonanzphänomene durch Galileio Galilei in seinen Untersuchungen zu Pendeln (1602) und Saiten (1638) beschrieben. Die erste mathematische Formulierung der Wellengleichung (ohne Dämpfung) ist 1739 durch Leonhard Euler dokumentiert. Eulers Lösungen, sowohl der homogenen, als auch der inhomogenen Schwingungsgleichung enthielten bereits die Überlagerung der anregenden Schwingung (mit der Frequenz \(\Omega\)) mit der Eigenschwingung (mit der Frequenz \(\omega_{0}\)) und das Phänomen der unendlich anwachsenden Amplitude im Fall der Resonanz (Resonanzkatastrophe). Euler selbst betrachtete dieses Ergebnis in einem Brief an Johann Bernoulli, als „wunderliche“ theoretische Voraussage seiner Rechnung. Diese Anekdote demonstriert die große Vorhersagekraft mathematischer Modelle, die oft über die Vorstellungskraft der Protagonisten ihrer Zeit hinausgeht.

Lernziele

Sie sind mit dem Phänomen der Resonanz im Fall von von außen erregten Schwingungen vertraut.
Sie verstehen die Gemeinsamkeiten und feinen Unterschiede bei der Beschreibung der Resonanz in zwei unterschiedlichen Bereichen der Physik.
Sie können die aus der Vorlesung abgeleiteten abstrakten Differentialgleichungen und deren Lösungen mit konkreten Messungen und Beobachtungen in der Realität verbinden.
Sie kennen und verstehen was der Begriff Gütefaktor für eine Schwingung bedeutet.

Weiterführendes Angebot

Im Folgenden finden Sie einige weitere Hinweise und Anregungen, falls Sie aus diesem Versuch noch etwas mehr für sich mitnehmen möchten, als im Abschnitt Lernziele beschrieben:

🤓 Mit den Beispielen aus Mechanik und Elektrotechnik leiten wir die Schwingungsgleichungen in vollkommen unterschiedlichen physikalischen Zusammenhängen ab. Dies führt zu einem ähnlichen, aber nicht identischen Resonanzverhalten. Anpassungen geeigneter Modelle an die Messdaten zeigen, dass diese Unterschiede signifikant sind.
🤓 Mit diesem Versuch führen wir den Begriff des Gütefaktors für eine Schwingung ein. Für den Gütefaktor gibt es zwei Definitionen, die nicht identisch, aber unter bestimmten Bedingungen näherungsweise äquivalent sind.
🤓 Es kann sehr aufschlussreich sein das Fourier-Spektrum der beobachteten erregten Schwingung zu untersuchen, um die Überlagerung von \(\omega_{0}\) und \(\Omega\) während des Einschwingvorgangs sichtbar zu machen. Auch wenn der Umgang mit dem verwendeten CASSY-System umständlich ist, bietet er die Möglichkeit hierzu.

Versuchsaufbau

Ein typischer Aufbau für den Versuch Resonanz ist in Abb. 1 gezeigt:

Dieser Versuch ist zweigeteilt. 🔔 Den ersten Teil bestreiten Sie mit dem Pohlschen Rad, das Sie zunächst in eine freie (bzw. schwach gedämpfte) und dann in eine von außen angeregte Schwingung versetzen und schließlich mit Hilfe einer Wirbelstrombremse zusätzlich von außen dämpfen.

🔔 In einem zweiten Teil bauen Sie einen einfachen elektrischen Serienschwingkreis auf und führen daran Resonanzuntersuchungen durch. Eine Auflistung der für Ihre Auswertung wichtigen Bauelemente und deren Eigenschaften finden Sie im Datenblatt zum Versuch.

Was diesen Versuch ausmacht

Wo immer einem System in periodischen Zeitabständen ein Signal aufgeprägt wird reagiert dieses zunächst mit einer Information über sich selbst, durch eine Schwingung mit seiner Eigenfrequenz! Durch stete Aufprägung übernimmt es schließlich die von außen erzwungene Frequenz. Je näher diese Frequenz der Eigenfrequenz liegt, desto besser und schneller gelingt dies. Ob in der Natur selbst, der Elektrotechnik, der Baustatik oder der Musik. Selbst bei der Entschlüsselung des menschlichen Hörens. Überall wo wir Schwingungen begegnen begegnet uns auch ein damit verbundenes, anderes und offenbar allgegenwärtiges Phänomen: das der Resonanz.

Dieser Versuch schließt sich in diesem Sinne, aus einem anderen Blickwinkel, logisch an den Versuch Pendel an. Hier haben Sie die Möglichkeit das Phänomen der Resonanz am Pohlschen Rad zu beobachten. Durch den mechanischen Aufbau können Sie ganz eindrücklich und sinnlich erleben, wie sich die Resonanz aufbaut. Diese können Sie dann wiederum systematisch, unter Laborbedingungen untersuchen. Die richtige Bedienung des Pohlschen Rads für systematische Untersuchungen ist aber kein Selbstläufer: Stellen Sie die Schwingungen für jeden Messpunkt sorgfältig ein und achten Sie bei der Vermessung der Resonanzkurven darauf, die Amplituden erst deutlich nach der Einschwingphase zu bestimmen. Je besser Ihnen dies gelingt, desto besser wird die von Ihnen aufgenommene Resonanzkurve der Erwartung folgen. Die Messungen am elektrischen Schaltkreis sind weniger eindringlich erfahrbar. Im Gegenzug sind sie weniger anfällig auf mögliche Störeffekte und können daher leichter quantitativ ausgewertet werden. In der Kombination experimentieren Sie mit zwei verhältnismäßig leicht zugänglichen Resonanzphänomenen aus zwei vollkommen unterschiedlichen Bereichen der Physik. Sie erfahren, dass das Phänomen der Resonanz beiden Bereichen eigen ist. Gleichzeitig können Sie feine Unterschiede der Resonanzkurven experimentell herausarbeiten, die wiederum eindrucksvoll die Macht der Mathematik zur Modellierung physikalischer Phänomene unter Beweis stellt.

Dieser Versuch fordert Sie mit einem straffen Messprogramm heraus, auf das Sie sich gut vorbereiten sollten. Gehen Sie dieses Programm dann während der Versuchsdurchführung so gut organisiert wie möglich an. Lassen sie sich nicht aus der Ruhe bringen, wenn die Versuche mit dem Pohlschen Rad etwas länger dauern. Die Versuche mit dem Serienschwingkreis sollten deutlich zügiger zu bewerkstelligen sein. Achten Sie jedoch auch dabei auf sorgfältiges und verständiges Messen. In Durchführung uns Auswertung ist der Versuch schwieriger als es Ihnen bei der Vorbereitung zunächst anmuten mag. Nicht jede Aufgabe muss Ihnen gleich gut gelingen. Wenn er gelingt gehen Sie jedoch mit einem sehr guten Selbstverständnis zum Thema Resonanz aus diesem Versuch hervor.

Wichtige Hinweise

⚠️ Sie benötigen einen USB-Stick oder sonstigen Datenträger zur Übermittlung der aufgezeichneten Daten vom CASSY-Messsystem auf Ihr Jupyter-notebook.