💡 Hinweise zu den Aufgaben

Link zur Protokoll-Vorlage

Messautomatik

Für die Aufgaben 1 und 2 verwenden Sie eine für das P1 entworfene Messautomatik.

• Zur Messung wird eine Lichtschranke zur Zeiterfassung benutzt. Eine Messung kann nur bei offener Schranke, d.h. wenn die Leuchtdiode an der Schranke rot leuchtet, gestartet werden.
• Justieren Sie die Lichtschranke, so dass die Messautomatik wirklich die Nulldurchgänge der Schwingung zählt.
• Sie können als relative Unsicherheit für die Zeitmessung \(\Delta t/t=\pm 0.2\%\) annehmen.
• Achten Sie darauf, dass keine Pendel während der Schwingung anstoßen.

➡️ Aufgabe 1: Fadenpendel

Für diese Aufgabe ist das Verständnis der Vorbereitungshilfe zum Fadenpendel erforderlich.

Hinweis

Beachten Sie, dass der Radius \(r\) der Kugel kein Bestandteil der Angaben im Datenblatt zum Versuch ist. Sie müssen \(r\) also während Ihrer Messungen selbst bestimmen.

⚙️ Aufgabe 1.1: Kleinwinkelnäherung

🔧 Ablauf

• Messen Sie \(T_{0}(\varphi_{0})\) am besten fortlaufend, beginnend bei \(\varphi_{0}\gtrsim60^{\circ}\). Aufgrund der Dämpfung des Pendels verringert sich \(\varphi_{0}\) mit der Zeit von selbst. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
  • Bestimmen Sie \(T_{0}(\varphi_{0})\) aus einer geeigneten Anzahl an fortlaufenden Perioden.
  • Wählen Sie z.B. 3 – 5 Perioden pro Messpunkt. Schätzen Sie entsprechende Unsicherheiten \(\Delta T_{0}\) ab!
  • Warten Sie dann bis \(\varphi_{0}\) um etwa \(5^{\circ}\) abgenommen hat und bestimmen Sie einen neuen Wert von \(T_{0}(\varphi_{0})\).
  • Schätzen Sie geeignete Unsicherheiten \(\Delta\varphi_{0}\) ab.
• Nehmen Sie auf diese Weise eine Messreihe mit 12 Punkten auf.
• 💡 Ein Beispiel für die effiziente, manuelle Aufnahme von Messpunkten ins Jupyter-notebook finden Sie hier.

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Alle aufgenommenen Wertepaare \((\varphi_{0}^{(i)}, T_{0}^{(i)})\) mit entsprechenden Unsicherheiten \(\Delta\varphi_{0}^{(i)}\) und \(\Delta T_{0}^{(i)}\)!
  • Stellen Sie die Datenpunkte in geeigneter Weise graphisch dar.
  • Passen Sie ein geeignetes Modell basierend auf Gleichung (5) hier an die Daten an und überprüfen Sie die Anwendbarkeit des Modells mit Hilfe des \(\chi^{2}\)-Werts der Anpassung.
• 💡 Ein Beispiel für die Bestimmung eines p-Werts auf Grundlage einer \(\chi^{2}\)-Verteilung finden Sie hier.

⚙️ Aufgabe 1.2: Bestimmung der Erdbeschleunigung \(g\)

🔧 Ablauf

• Wählen Sie für die Bestimmung von \(g\) einen geeigneten Winkel \(\varphi_{0}\).
• Lassen Sie das Pendel los und messen Sie fortlaufend.
• Bestimmen Sie die Zeitpunkte \(t_{i}\) nach jeweils 2 Perioden der Schwingung.
• Bestimmen Sie auf diese Weise mindestens 10 Messpunkte \((i, t_{i})\).
• Schätzen Sie eine geeignete Unsicherheit \(\Delta t_{i}\) ab.

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
  • Alle Messpunkte \((i, t_{i})\) mit entsprechenden Unsicherheiten \(\Delta t_{i}\).
  • Tragen Sie \(t_{i}\) gegen \(2\,i\) auf und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
    • 💡 Erlauben Sie in Ihrem Modell ggf. zusätzliche Freiheitsgrade, wie z.B. einen Offset \(\delta\) für die Zeitmessung mit der Messautomatik.
    • Beurteilen Sie die Anwendbarkeit des Modells auf der Grundlage des \(\chi^{2}\)-Werts der Anpassung.
    • Bestimmen Sie \(T_{0}\pm\Delta T_{0}\) aus der Anpassung an die Einzelmessungen.
    • Beurteilen Sie ggf. die Signifikanz von \(\delta\) und weiterer zusätzlicher Freiheitsgrade in Ihrem Modell.
    • Bestimmen Sie \(g\pm\Delta g\) durch Fehlerfortpflanzung aus \(T_{0}\pm\Delta T_{0}\).
  • Beurteilen Sie die Übereinstimmung der Messung von \(g\pm\Delta g\) mit Ihrer Erwartung.
  • Diskutieren Sie den Einfluss der Dämpfung.
  • Diskutieren Sie den Einfluss der endlichen Ausdehnung der Kugel, den Sie relativ zum mathematischen Pendel erwarten.
  • Diskutieren Sie den Einfluss der Kleinwinkelnäherung, den Sie aus Gleichung (5) hier erwarten.

Modifikation der Auswertung

Hinweis

Das folgende Vorgehen ist nicht obligatorisch!

Statt erst \(T\pm\Delta T\) und daraus durch Fehlerfortpflanzung \(g\pm\Delta g\) zu bestimmen können Sie Ihr Modell zur Anpassung an die Daten geeignet modifizieren, um \(g\pm\Delta g\) direkt aus der Anpassung an die Einzelmessungen zu bestimmen. Grundlage dieses Modells ist Gleichung (4) hier.

➡️ Aufgabe 2: Reversionspendel

Für diese Aufgabe ist das Verständnis der Vorbereitungshilfe zum Reversionspendel erforderlich.

⚙️ Aufgabe 2.1: Funktionsweise

🔧 Ablauf

Wichtig

Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben im Rahmen Ihrer Vorbereitung auf diesen Versuch:

🖥️ Auswertung

• Erläutern Sie die Funktionsweise des Reversionspendels.
• Berechnen Sie aus dem einfachen Modell eines dünnen Stabs mit den Abmessungen des im Praktikum verwendeten Pendels konkrete Werte für \(\Theta\), \(s\) und \(\ell_{r}\).
• Das Pendel im Praktikum besteht nicht nur aus einem dünnen Stab. Es besitzt Halterungen, um K und K' zu fixieren. Wie groß sind, Ihrer Erwartung nach, die Abweichungen dieses realen Pendels von der oben gemachten, vereinfachenden Annahme eines dünnen Stabs, für die berechneten Werte?

⚙️ Aufgabe 2.2: Bestimmung von \(g\)

🔧 Ablauf

• Verschieben Sie K' in einem Intervall um den in Aufgabe 2.1 abgeschätzten Wert von \(\ell_{r}\) und messen Sie \(d=K-K'\). Schätzen Sie eine geeignete Unsicherheit \(\Delta d\) ab.
• Bestimmen Sie für die so ermittelten festen Werte von \(d\) die Periodendauer \(T_{0}\) für das Pendel auf dem Auflagepunkt \(A\) (siehe Abbildung 1 (a) hier).
• Drehen Sie dann das Pendel um und bestimmen Sie für den gleichen Wert von \(d\) die Periodendauer \(T_{0}^{\prime}\) für das Pendel auf dem Auflagepunkt A' (siehe Abbildung 1 (b) hier).
• Beschränken Sie sich auf kleine Auslenkungen \(\varphi_{0}\) des Pendels, so dass die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist (siehe Aufgabe 1).
• Nehmen Sie auf diese Weise 10-12 Messpunkte für verschiedene Werte von \(d^{(i)}\) im Bereich des nach Aufgabe 2.1 von Ihnen erwarteten Werts von \(\ell_{r}\pm5\,\mathrm{cm}\) auf.
  • 💡 Tun Sie dies in Schritten von nicht mehr als \(1\,\mathrm{cm}\).
  • 💡 In der näheren Umgebung des von Ihnen erwarteten Werts von \(\ell_{r}\) können Sie die Messpunkte etwas dichter setzen.

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, ggf. mit Skizze.
  • Die Werte \((d^{(i)},T_{0}^{(i)}, T_{0}^{\prime, (i)})\) mit entsprechenden Unsicherheiten \(\Delta d^{(i)}\), \(\Delta T_{0}^{(i)}\) und \(\Delta T_{0}^{\prime, (i)}\).
  • Stellen Sie die Datenpunkte \((d_{i}^{(i)},T_{0}^{(i)})\) und \((d^{(i)},T_{0}^{\prime,(i)})\) mit entsprechenden Unsicherheiten im gleichen Diagramm dar.
  • Passen Sie jeweils die Modelle für \(T_{0}\) und \(T_{0}'\) aus Gleichung (3) hier an die entsprechenden Datenpunkte beider Messreihen an. Die angepassten Kurven sollten einen Schnittpunkt aufweisen.
  • Überprüfen Sie die Anwendbarkeit der Modelle aus den Gleichungen (3) hier mit Hilfe der jeweiligen \(\chi^{2}\)-Werte der Anpassungen.
  • Stellen Sie, zur Bestimmung von \(\ell_{r}\) die Messpunkte \((d^{(i)},D^{(i)})\) mit \(D^{(i)} = T_{0}^{(i)}-T_{0}^{\prime,(i)}\) in einem gesonderten Diagramm dar.
    • 💡 Vergessen Sie nicht die Unsicherheiten auf \(D^{(i)}\) entsprechend fortzupflanzen.
  • Passen Sie an diese Datenreihe das Modell für \(T_{0}'\) aus Gleichung (3) hier an.
  • Überprüfen Sie die Anwendbarkeit des Modells mit Hilfe des \(\chi^{2}\)-Werts der Anpassung.
  • Fügen Sie Ihrem Protokoll die Kovarianzmatrix der Anpassung für die Parameter \(\alpha,\, \beta,\,\gamma\) bei.

➡️ Aufgabe 3: Gekoppelte Pendel

Für diese Aufgabe ist das Verständnis der Vorbereitungshilfe zum Gekoppelten Pendel erforderlich.

⚙️ Aufgabe 3.1: Fundamentalschwingungen

🔧 Ablauf

• Stellen Sie für die zwei baugleichen Pendel P1 und P2 durch Verschieben einer der Pendelscheiben gleiche Periodendauern \(T_{0}\) her.
  • Bestimmen Sie hierzu für jedes Pendel mehrere Werte \(T_{0}^{(i)}\) jeweils aus mindestens 2 Perioden.
    • 💡 Nehmen Sie hierzu mindestens 5 Messwerte auf und bestimmen Sie \(T_{0}^{(i)}\) und \(\Delta T_{0}^{(i)}\) z.B. aus Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz.
• Koppeln Sie die Pendel mit Hilfe einer Schraubenfeder (mit der Federkonstanten \(k\)) in jeweils gleichem Abstand \(\ell\) von den Aufhängepunkten der Pendel.
  • 💡 Achten Sie beim Koppeln der Pendel darauf, dass die koppelnde Schraubenfeder nicht unter (zu starker) Spannung steht.
  • 💡 Koppeln Sie beide Pendel auf gleicher Höhe \(\ell\).
• Führen Sie dann das folgende Messprogramm durch:
  • Bestimmen Sie die Periodendauern \(T_{1}\) und \(T_{2}\) der Fundamentalschwingungen (bei denen keine Schwebung auftritt).
  • 💡 Gehen Sie hierzu vor, wie bei der Bestimmung der Periodendauern \(T_{0}^{(i)}\).
• Wiederholen Sie die Messungen bei verändertem Abstand \(\ell'\).

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
  • Die Werte für \(T_{0}^{(i)}\pm\Delta T_{0}^{(i)}\) sowie die daraus bestimmten Werte \(T_{0}\pm\Delta T_{0}\) für P1 und P2.
  • Fügen Sie Ihrem Protokoll eine Aussage über die Übereinstimmung beider Periodendauern zu.
  • Die Werte \(T_{1,2}^{(i)}\) jeweils für \(\ell\) und \(\ell'\).
  • Die ermittelten Werte von \(T_{1,2}\pm\Delta T_{1,2}\), jeweils für \(\ell\) und \(\ell'\).
  • Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse für \(T_{0},\ T_{1}(\ell),\ T_{2}(\ell),\ T_{1}(\ell'),\ T_{2}(\ell')\).
  • Bestimmen Sie für \(\ell\) und \(\ell'\) aus \(T_{1,2}\pm\Delta T_{1,2}\) jeweils die Werte für \(\omega_{1,2}\pm\omega_{1,2}\).
  • Berechnen Sie auf Grundlage des Modells eines physikalischen Pendels aus \(\omega_{1}\pm\Delta\omega_{1}\) das Trägheitsmoment \(\Theta\) und vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer Erwartung aus den geometrischen Abmessungen und Massen der Pendel.
  • Berechnen Sie aus \(\omega_{2}\pm\Delta\omega_{2}\) die Federkonstante \(k_{\mathrm{Koppel}}\pm\Delta k_{\mathrm{Koppel}}\) der koppelnden Feder.

Modifikation der Auswertung

Hinweis

Das folgende Vorgehen ist nicht obligatorisch!

Für die Bestimmung von \(\Theta\) und \(k\) können Sie alle Datensätze sowohl für \(\ell\), als auch \(\ell'\) verwenden. Hierzu können Sie eine kombinierte Anpassung mit Hilfe der kafe2 MultiFit-Klasse durchführen. Ein Beispiel hierzu finden Sie hier.

⚙️ Aufgabe 3.2: Kopplung

🔧 Ablauf

• Hängen Sie für diese Aufgabe die koppelnde Feder aus Aufgabe 3.1 senkrecht an einem Stativ auf.
• Führen Sie dann zwei alternative Bestimmungen von \(k\) durch.
• Statisch, mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes:
  • Versehen Sie hierzu die Feder mit verschiedenen bekannten Massen \(m_{i}\).
• Dynamisch, unter Verwendung der koppelnden Feder als Federpendel:
  • Belasten Sie hierzu die Feder mit einer bekannten Masse Ihrer Wahl.
  • Versetzen Sie die Feder in senkrechte Schwingung und bestimmen Sie die Periodendauer \(T_{\mathrm{FP},0}\) der Schwingung.
  • 💡 Gehen Sie für die algorithmische Bestimmung der Periodendauern wie für Aufgabe 3.1 vor.

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
  • Die Wertepaare \((m_{i}, \Delta z_{i})\) mit entsprechenden Unsicherheiten \(\Delta m_{i}\) und \(\Delta\Delta z_{i}\).
    • 💡 Für die Unsicherheiten auf die \(m_{i}\) können Sie \(\Delta m_{i}=\pm 0.5\,\mathrm{g}\) annehmen.
    • Stellen Sie die Messwerte \((m_{i}, \Delta z_{i})\) geeignet dar, und passen Sie ein geeignetes Modell an.
    • Beurteilen Sie die Anwendbarkeit dieses Modells mit Hilfe des \(\chi^{2}\)-Werts der Anpassung.
    • Den Wert \(k_{\mathrm{Hooke}}\pm\Delta k_{\mathrm{Hooke}}\) aus der Anpassung.
  • Die Periodendauer \(T_{\mathrm{FP},0}\pm\Delta T_{\mathrm{FP},0}\) des Federpendels.
    • Den aus \(T_{\mathrm{FP},0}\) ermittelten Wert \(k_{\mathrm{FP}}\pm\Delta k_{\mathrm{FP}}\).
  • Vergleichen Sie alle hier und im Rahmen von Aufgabe 3.1 bestimmten Werte für \(k\) innerhalb Ihrer Unsicherheiten und beurteilen Sie, welches die genaueste Methode zur Bestimmung von \(k\) ist.

⚙️ Aufgabe 3.3: Schwebung

🔧 Ablauf

• Wählen Sie für die Bestimmung von \(\overline{T}\) und \(\widetilde{T}\) einen der Abstände \(\ell\) oder \(\ell'\), den Sie auch für Aufgabe 3.1 gewählt haben.
• Lenken Sie P1 (unter kleinem Winkel \(\varphi_{0}\)) aus und halten Sie P2 ruhig.
• Lassen Sie dann P1 los und versetzen Sie die gekoppelten Pendel auf diese Weise in Schwebung.
• 💡 Dieses Vorgehen erfordert etwas Geschick.
• 💡 Die Bestimmung von \(\overline{T}\) sollte klar sein. Sie können \(\widetilde{T}\) als die Zeitspanne bestimmen, in der P2 wieder zur Ruhe kommt.
• 💡 Gehen Sie für die algorithmische Bestimmung der Periodendauern wie für Aufgabe 3.1 vor.

🖥️ Auswertung

• ✍🏻 Protokollieren Sie:
  • Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
  • Die Werte \(\overline{T}^{(i)}\pm\Delta \overline{T}^{(i)}\) und \(\widetilde{T}^{(i)}\pm\Delta \widetilde{T}^{(i)}\).
  • Die daraus bestimmten Werte \(\overline{T}\pm\Delta\overline{T}\) und \(\widetilde{T}\pm\Delta\widetilde{T}\).
  • Bestimmen Sie aus den Periodendauern jeweils die Kreisfrequenzen \(\overline{\omega}\pm\Delta\overline{\omega}\) und \(\widetilde{\omega}\pm\Delta\widetilde{\omega}\).
  • Stellen Sie die hier definierten Größen \(\omega_{1}\pm\Delta\omega_{1},\ \omega_{1}'\pm\Delta\omega_{1}',\ \omega_{2}\pm\Delta\omega_{2},\ \omega_{2}'\pm\Delta\omega_{2}'\) geeignet in einem Diagramm dar.
  • Überprüfen Sie die Korrektheit der Gleichungen (4) und (5) hier.
  • 💡 Ein Beispiel dafür, wie Sie den \(p\)-Wert aus der \(\chi^{2}(x,2)\)-Funktion bestimmen können finden Sie hier.