Grundlagen der Statistik zum Verständnis der angewandten Messprinzipien in der Gammaspektroskopie
Spektrum, Histogramm und Dichte
Als Spektrum bezeichnet man die Untersuchung eines Objekts O nach einer Eigenschaft X. Die Fragestellung lautet:
"Wie häufig treffe ich O mit der Eigenschaft X an?"
🔔 Diese Untersuchung erfolgt zunächst durch die Darstellung der Häufigkeitsverteilung als Histogramm, mit einer vorgegebenen Anzahl von Kategorien \(i\). Man bezeichnet eine solche Kategorie auch als Bin. Auf der \(x\)-Achse des Histogramms werden die Werte (oder Ausprägungen) von X aufgetragen, die bestimmen welchem Bin \(i\) das Auftreten von O zuzuordnen ist. Auf der \(y\)-Achse wird die Häufigkeit \(\Delta N_{i}\) aufgetragen, mit der im Laufe einer Messreihe ein Objekt O dem Bin \(i\) zugeordnet wurde.
🔔 Die Werte von \(\Delta N_{i}\) hängen sowohl von der Gesamtanzahl der Beobachtungen, als auch von der Breite der Bins \(\Delta x_{i}\) ab. Teilt man \(\Delta N_{i}\) durch jeweils beide Größen, bezeichnet man die entstehende Verteilung als Dichtefunktion. 💡 Sind alle \(\Delta x_{i}\) gleich, ist die Form der Häufigkeitsverteilung zur Form der Dichtefunktion gleich, was nicht der Fall ist, wenn \(\Delta x_{i}\) für unterschiedliche \(i\) variiert. 💡 Im Grenzübergang unendlich vieler Bins verschwindend kleiner Breiten \(\Delta x_{i}\) geht der Differenzenquotient in die Ableitung über:
💡 Man findet daher auch oft Bezeichnungen, wie \(\mathrm{d}N/\mathrm{d}x\) an der \(y\)-Achse eines Histogramms, bei dem die Häufigkeiten durch \(\Delta x_{i}\) geteilt wurde.
Der stochastische Term zur Beschreibung der relativen Energieauflösung des Photodetektors
Bei den Wechselwirkungen einzelner Teilchen mit Materie handelt es sich um probabilistische Vorgänge. Ob ein auf den Detektor auftreffendes Photon seine gesamte Energie im Detektor deponiert, oder ein gestreutes Photon den Detektor nach Compton-Streuung wieder verlässt ist nicht deterministisch vorhersagbar. All diesen Ereignissen lassen sich jedoch feste und immer gleiche Wahrscheinlichkeiten zuordnen.
Ebenso ist die Entstehung des zum Photon gehörigen Signals \(Q(E_{\gamma})\) mit dem Produkt einer schier unüberschaubar großen Anzahl an Einzelwahrscheinlichkeiten \(p_{k}\) verbunden. Diese quantifizieren z.B. die folgenden Prozesse:
- Das Auftreten einzelner Wechselwirkungen hoch-energetischer Photonen mit dem Detektormaterial.
- Die Erzeugung von Ladungsträgern und Szintillationsphotonen im Detektormaterial.
- Das Auftreten von Primärelektronen \(e_{i}\) an der Photokathode (PK).
- Die Vervielfachung der \(e_{i}\) im SEV, sowie die sich anschließende, weitere, elektronische Signalverstärkung und Übersetzung in Kanäle des MCA.
🔔 Für die folgenden Betrachtungen lassen wir die Vervielfachung der \(e_{i}\) im SEV, sowie die sich daran anschließende weitere Signalverarbeitung, auf die wir später zurück kommen werden, zunächst außer Acht.
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Primärelektrons an der PK folgt, den obigen Überlegungen zufolge, einer uns unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung
die wir theoretisch ermitteln könnten, wenn wir allen möglichen Prozessketten \(\omega\in\Omega\) folgen würden, die zur Erzeugung eines Primärelektrons an der PK führen können. Diese Annahme ist allerdings wirklich nur theoretischer Natur, da die Anzahl an möglichen Prozessketten \(\omega\) sehr, wenn nicht gar unendlich groß ist. 🔔 Wir müssen uns also damit begnügen, dass die Kenntnis von \(P_{\omega\in\Omega}\) für uns unerreichbar ist. 💡 Wir stellen jedoch fest, dass \(P_{\omega\in\Omega}\) für alle \(e_{i}\) gleich ist. Im weiteren ordnen wir \(P_{\omega\in\Omega}\), zur weiteren Charakterisierung, den Erwartungswert \(\mu_{P}\) und die Standardabweichung \(\sigma_{P}\) zu.
Ein wichtiger Schritt in den weiteren Überlegungen ist, dass wir im folgenden nicht die Wahrscheinlichkeit für das konkrete Auftreten \(P_{\omega\in\Omega}(e_{i})\) eines bestimmten Primärelektrons \(e_{i}\), sondern den Erwartungswert \(\mu_{P}\) für das Auftreten eines Primärelektrons im Allgemeinen betrachten. 💡 In den folgenden Gleichungen taucht daher zwar der Erwartungswert \(\mu_{P}\) auf, es handelt sich dabei aber um den Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeit, die selbst ohne weiteres eine Zufallsvariable sein kann.
Das Signal an der PK setzt sich aus \(N_{\mathrm{e}}\) Primärelektronen zusammen. Nach dem Zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy können wir davon ausgehen, dass die Summe aus \(N_{\mathrm{e}}\) Einzelbeiträgen für \(N_{\mathrm{e}}\gg0\) einer Normalverteilung mit
zustrebt.
Beschränken wir uns auf die vollständige Absorption eines Strahls mono-energetischer Photonen mit der Energie \(E_{\gamma}\) ist aufgrund der statistischen Natur der Prozesse die der Messung zugrunde liegen klar, dass wir für \(Q(E_{\gamma})\) keine \(\delta\)-Distribution erwarten können. Stattdessen erwarten wir eine Normalverteilung deren Erwartungswert wir mit \(\mu_{Q}\) und deren Standardabweichung wir mit \(\sigma_{Q}\) bezeichnen. 🔔 Sowohl \(\mu_{Q}\) als auch \(\sigma_{Q}\) können wir aus der aufgenommenen Messreihe bestimmen. 🔔
Für den Zusammenhang mit \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) und \(\sigma_{N_{\mathrm{e}}}\) gilt
wobei mit \(C\) allerdings noch ein weiterer uns unbekannter Kalibrationsfaktor auftaucht, mit dessen Hilfe wir z.B. \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) aus \(\mu_{Q}\) bestimmen könnten. Beachten Sie, dass \(Q(E_{\gamma})\) primär aus den Kanälen des MCA bestimmt wird. In den Gleichungen (2) sind also zwei Gleichungen für die Bestimmung von \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) mit drei Unbekannten (\(\mu_{N_{\mathrm{e}}},\ \sigma_{N_{\mathrm{e}}},\ C\)) zusammengefasst. Können wir trotzdem etwas über \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) erfahren? Die Antwort lautet – ja, denn für den Grenzübergang \(N_{\mathrm{e}}\gg0\) und \(\mu_{P}\to0\) geht die Normalverteilung, die den Gleichungen (1) zugrunde liegt in die Poisson-Verteilung über, für deren Standardabweichung bei vorgegebenem Erwartungswert \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) der Zusammenhang
gilt. 💡 Damit können wir \(\sigma_{N_{\mathrm{e}}}\) als eine Unbekannte in den Gleichungen (2) eliminieren und \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) wie folgt abschätzen:
Vervielfachung im SEV
🤓 Wir klären abschließend noch die Frage, warum \(\sigma_{Q}\) dominant durch \(\mu_{N_{\mathrm{e}}}\) bestimmt wird, während z.B. die Vervielfachung im SEV, trotz ihrer ebenfalls statistischen Natur, keine Rolle zu spielen scheint. 🤓
Wir haben weiter oben diskutiert, dass im SEV eine Verstärkung des Signals an der PK von \(\mu_{V}\approx10^{6}\) leicht erreicht werden kann. Wir stellen uns vor, dass \(\mu_{V}\) Bestandteil des Kalibrationsfaktors \(C\) aus den Gleichungen (2) ist. Die Varianz von \(\mu_{V}\) kann mit
abgeschätzt werden, wobei \(\sigma_{V}\) einen festen Wert hat, der aus der Varianz von \(\delta\) (siehe oben) abgeleitet werden kann. Die Anzahl der Dynoden im SEV ist ohne Unsicherheit vorgegeben. Dadurch kann \(\mathrm{var}[\mu_{V}]\) gerade bei sehr großen Werten von \(\mu_{V}\) als sehr klein angenommen werden. 💡 Die Fluktuationen in der Bestimmung von \(Q(E_{\gamma})\) werden also durch die Stelle in der Auslesekette dominiert, in der die kleinsten Zählraten auftreten. 💡 Diese werden durch den anschließenden Verstärkungsprozess dann nur noch skaliert.
👆 Diese Überlegungen motivieren, warum für einen Photodetektor, wie wir ihn für diesen Versuch verwenden Szintillatormaterialien mit hoher Szintillationslichtausbeute und PK mit hoher Quanteneffizienz von primärer Bedeutung sind. 👆
Erwartung
Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:
- ✅ Sie kennen die Bedeutung der Poissonverteilung für Zählexperimente.
- ✅ Sie kennen die Formel der Poissonverteilung, ihren Erwartungswert und ihre Varianz.
- ✅ Sie wissen, dass die Energieauflösung eines Photodetektors immer durch die Stelle in der Auslesekette mit den kleinsten Zählraten dominiert wird.
Testfragen
- Unter welchen Bedingungen geht die Normalverteilung in die Poissonverteilung über?
- Der einzige Unterschied zweier PMs besteht darin, dass einer 12 und der andere 24 Dynoden hat. Erwarten Sie einen Unterschied in der Energieauflösung Ihres Photodetektors, wenn Sie den einen oder den anderen PM darin verbauen?
- Auf welche Größe würden Sie bei einem guten PM in erster Linie achten?