🌐 Nutation

Wir diskutieren das Phänomen der Nutation ohne Einschränkung der Allgemeinheit am Beispiel eines kräftefrei gelagerten Kreisels, für den die Richtung und der Betrag von \(\vec{L}\) zeitlich konstant sind. Verläuft \(\vec{L}\) entlang einer der Hauptträgheitsachsen sind auch die Richtung und der Betrag von \(\vec{\omega}\) zeitlich konstant und nach Gleichung (4) hier gilt \(\vec{\omega}\parallel\vec{L}\), wie in Abb. 1 (a) gezeigt:

**Abb. 1:** Lage von \(\vec{L}\) und \(\vec{\omega}\) für einen symmetrischen Kreisel, (a) für den Fall, dass \(\vec{L}\) entlang der Figurenachse \(\hat{z}\) verläuft, und (b und c) für den Fall, dass dies nicht zutrifft

Zur weiteren Vereinfachung der Diskussion legen wir unseren Betrachtungen weiterhin das Modell eines symmetrischen Kreisels, mit der Figurenachse \(\hat{z}\) zugrunde.

Verläuft \(\vec{L}\) nicht entlang einer der Hauptträgheitsachsen, ändert \(\vec{\omega}(t)\) als Funktion der Zeit die Richtung und der Kreisel vollzieht eine Nick- oder Nutationsbewegung, wie in Abb. 2 gezeigt:

**Abb. 2:** Bewegungsablauf des Kreisels für den (a) *prolaten* und (b) *oblaten* symmetrischen Kreisel

Im raumfesten Bezugssystem K umläuft die momentane Drehachse \(\vec{\omega}(t)\) den (in K ruhenden) Drehimpulsvektor \(\vec{L}\) auf dem Rastpolkegel (rot).
Im körperfesten Bezugssystem \(\mathrm{\widetilde{K}}\) umläuft \(\vec{\omega}\) zur gleichen Zeit (die in \(\mathrm{\widetilde{K}}\) ruhende Figurenachse) \(\hat{z}\) auf dem Gangpolkegel (blau).
Die resultierende Bewegung lässt sich durch ein schlupffreies Abrollen des Gangpolkegels auf dem Rastpolkegel in K beschreiben.
Auf der Berührlinie der beiden Kegel liegt \(\vec{\omega}(t)\).
Die Figurenachse \(\hat{z}\) des Kreisels beschreibt dabei den Nutationskegel (schwarz) in K, dessen Kegelachse mit \(\vec{L}\) zusammenfällt.

Der genaue Ablauf dieser Bewegung hängt von der Beschaffenheit des Kreisels ab:

🔔 Für den prolaten Kreisel (\(\theta_{z}\lt\theta_{\perp}\), Abbildungen 1 (b) und 2 (a)) liegt \(\vec{\omega}\) zwischen \(\hat{z}\) und \(\vec{L}\); der äußere Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in K kreisen \(\vec{\omega}\) und \(\hat{z}\) in Phase um \(\vec{L}\).
🔔 Für den oblaten Kreisel (\(\theta_{z}\gt\theta_{\perp}\), Abbildungen 1 (c) und 2 (b)) liegt \(\vec{L}\) zwischen \(\hat{z}\) und \(\vec{\omega}\); der innere Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in K kreisen \(\vec{\omega}\) und \(\hat{z}\) gegenphasig um \(\vec{L}\).

Um die Nutation quantitativ besser zu verstehen empfiehlt es sich \(\vec{\omega}\) in einen Anteil \(\vec{\omega}_{\hat{z}}\) parallel zu \(\hat{z}\) und einen Anteil \(\vec{\omega}_{N}\) parallel zu \(\vec{L}\) zu zerlegen:

\[ \begin{equation*} \vec{\omega} = \vec{\omega}_{N} + \vec{\omega}_{\hat{z}}, \end{equation*} \]

wie in Abb. 3 dargestellt:

Ebenfalls in die Skizze eingetragen sind der Öffnungswinkel des Gangpolkegels \(\alpha\) und der Öffnungswinkel des Nutationskegels \(\beta\).

Mit diesen Definitionen ergeben sich die folgenden Zusammenhänge:

\[ \begin{equation*} \begin{split} & \tan\alpha = \frac{\omega_{\perp}}{\omega_{z}};\qquad\tan\beta = \frac{L_{\perp}}{L_{z}} = \frac{\theta_{\perp}\,\omega_{\perp}}{\theta_{z}\,\omega_{z}} = \frac{\theta_{\perp}}{\theta_{z}}\tan\alpha; \\ &\\ & \sin\alpha = \frac{\omega_{\perp}}{\omega};\qquad \sin\beta = \frac{\omega_{\perp}}{\omega_{N}} \\ &\\ & \omega_{N} = \frac{\omega_{\perp}}{\sin\beta} = \frac{\omega}{\sin\beta}\,\sin\alpha = \frac{\omega}{\sin\beta}\,\sqrt{\frac{\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}\alpha}}\\ &\\ &\text{mit}\\ &\\ &\tan\alpha = \frac{\theta_{z}}{\theta_{\perp}}\tan\beta \\ &\\ &\omega_{N} = \frac{\omega}{\sin\beta}\,\sqrt{\frac{1}{1/\tan^{2}\alpha+1}} = \omega\,\sqrt{\frac{\theta_{z}^{2}}{\theta_{\perp}^{2}\cos^{2}\beta+\theta_{z}^{2}\sin^{2}\beta}}. \end{split} \end{equation*} \]

Für kleine Werte von \(\beta\) ergibt dies:

\[ \begin{equation} \omega_{N} = \omega\,\sqrt{\frac{\theta_{z}^{2}}{\theta_{\perp}^{2}\cos^{2}\beta+\theta_{z}^{2}\sin^{2}\beta}} \approx \omega\,\frac{\theta_{z}}{\theta_{\perp}} \label{eq_Nutation} \end{equation} \]

Tipp

Wie aus Gleichung \(\eqref{eq_Nutation}\) ersichtlich gilt für den oblaten (prolaten) Kreisel \(\omega_{N}\gt\omega\) (\(\omega_{N}\lt\omega\)).

Die obigen Betrachtungen gelten für einen einfachen symmetrischen Kreisel. Im Fall des Kreisels den Sie für diesen Versuch verwenden (siehe z.B. Abb. 1 hier), müssen die Trägheitsmomente der massiven Kardanrahmen bei der Beschreibung der Kreiselbewegung berücksichtigt werden. Bei Drehungen um \(\hat{x}\) dreht sich der innere, bei Drehungen um \(\hat{y}\) sowohl der innere, als auch der äußere Kardanrahmen mit. Für die Trägheitsmomente gilt daher:

\[ \begin{equation*} \begin{split} &\theta_{x}^{\prime} = \theta_{x} + \theta_{x}^{(i)} + \theta_{x}^{(a)}; \\ &\theta_{y}^{\prime} = \theta_{y} + \theta_{y}^{(i)}; \\ &\theta_{z}^{\prime} = \theta_{z}, \\ \end{split} \end{equation*} \]

wobei \(\theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{\perp}\) die Trägheitsmomente des Rotors, \(\theta_{x}^{(i)}\) und \(\theta_{y}^{(i)}\) die Trägheitsmomente des inneren und \(\theta_{x}^{(a)}\) das Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens sind. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich für kleine Werte von \(\beta\) (ohne Beweis)

\[ \begin{equation} \omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}} \label{eq_Nutation_2} \end{equation} \]

📌 Erwartung

Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:

Lernziele

Sie haben eine anschauliche Vorstellung vom Phänomen der Nutation.
Sie können erklären, wann Nutation auftritt.
Sie kennen die Gleichungen \(\eqref{eq_Nutation}\) und \(\eqref{eq_Nutation_2}\) und können sie anwenden.

📝 Selbsttest

Fragen

Tritt Nutation nur beim symmetrischen Kreisel auf?
Tritt Nutation nur beim kräftefrei gelagerten Kreisel auf?
Was bedeutet kräfte- bzw. momentenfreie Lagerung beim Kreisel?