Reflexionsmessung

Bisher haben wir uns nicht mit der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Leitungen beschäftigt. Für gewöhnlich kann dieser Effekt vernachlässigt werden, da die Kabellängen kurz sind und die Signale sich „sofort“ ausbreiten. Bei langen Kabeln und schnellen Signalen ist dies jedoch nicht mehr der Fall. Ebenso lassen sich an den Kabelenden Reflexionseffekte beobachten, die auftreten, wenn die elektromagnetische Welle am Ende der Leitung auf eine Impedanzänderung trifft.

Das Reflexionsverhalten wird von einem Time Domain Reflectometer (TDR) verwendet um die Eigenschaften von Leitungen zu bestimmen. Ein TDR sendet einen kurzen Impuls in eine Leitung und misst die zurückkommende Reflexion. Anhand der Laufzeit, Amplitude und des Vorzeichens der Reflexion können Eigenschaften der Leitung und ihres Abschlusses bestimmt werden. In der Praxis werden TDRs häufig zur Fehlersuche in Kabeln eingesetzt um Kabelbrüche oder Impedanzsprünge zu erkennen.

Mit einem Signalgenerator und einem Oszilloskop soll für ein Koaxialkabel untersucht werden:

Zu bestimmende Kabeleigenschaften

• Wie schnell breitet sich ein elektrisches Signal im Kabel aus?
• Wie zeigt sich eine Reflexion am offenen Kabelende?
• Wie kann aus der Messung der Wellenwiderstand \(Z_0\) des Kabels bestimmt werden?

Leitungstheorie

Zur Anwendung der Leitungstheorie betrachten wir ein Koaxialkabel als Kombination von zwei Leitern: Dem Innenleiter und dem Außenleiter (Schirm). Der Strom fließt über den Innenleiter von einem Ende des Kabels zum anderen Ende. Über den Außenleiter wird der Stromkreis geschlossen und der Strom fließt wieder zurück zum Anfang des Kabels. Bei einem sich ändernden Strom im Koaxialkabel entsteht ein sich änderndes Magnetfeld zwischen dem Innen- und Außenleiter. Dieses Magnetfeld induziert eine Spannung in den Leitern, die der Änderung des Stroms entgegenwirkt: Das Kabel besitzt eine Induktivität. Gleichzeitig erzeugt der Strom im Innenleiter ein elektrisches Feld, das zwischen Innen- und Außenleiter wirkt. Dieses elektrische Feld induziert einen Strom im Außenleiter, der dem Strom im Innenleiter entgegenwirkt: Das Kabel besitzt eine Kapazität. Eine lange Leitung besitzt daher entlang ihrer gesamten Länge folgende elektrische Eigenschaften:

• Induktivität pro Länge \(L'\),
• Kapazität pro Länge \(C'\),
• ohmschen Widerstand pro Länge \(R'\),
• Ableitung bzw. Leitfähigkeit des Dielektrikums pro Länge \(G'\).

Ein infinitesimal kleines Leitungsstück \(\mathrm dx\) kann vereinfacht wie in Abb. 1 dargestellt werden:

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Abb. 1: Ersatzschaltbild eines kurzen Stückes einer Zweidrahtleitung

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Für eine ideale, verlustfreie Leitung setzen wir zunächst

\[ \begin{aligned} R'&=0 \\ G'&=0 \end{aligned} \]

Diese Näherung ist für das qualitative Verständnis des Versuchs sehr nützlich.

Aufbau der Messung

Für die Reflexionsmessung müssen der Signalgenerator und das Oszilloskop mit dem zu untersuchenden Koaxialkabel verbunden werden. In Abb. 2 ist der Aufbau schematisch dargestellt. Zwischen dem Signalgenerator und dem Oszilloskop wird ein möglichst kurzes Kabel verwendet. Das Ende des zu untersuchenden Kabels liegt offen, d. h. es ist nicht mit einem Widerstand abgeschlossen. Je nach Messung wird das zweite Kabelende entweder mit dem zweiten Kanal des Oszilloskops verbunden, mit einem Widerstand verbunden oder komplett offen gelassen.

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graph TD
    A[Signalgenerator] --> B[T-Stück]
    B --> C[CH1]
    B --> D[Koaxialkabel]
    D --> E[Offenes Ende,<br>Abschlusswiderstand,<br>Oszilloskop CH2]

Abb. 2: Aufbau der Reflexionsmessung mit Signalgenerator, Oszilloskop und Koaxialkabel. Das Ende des zu untersuchenden Kabels ist hier offen.

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Ausbreitungsgeschwindigkeit des signals im Kabel

Für eine verlustfreie Leitung gelten die vereinfachten Telegraphengleichungen

\[ \frac{\partial U}{\partial x} = -L'\frac{\partial I}{\partial t} \]

und

\[ \frac{\partial I}{\partial x} = -C'\frac{\partial U}{\partial t}. \]

Leiten wir die erste Gleichung noch einmal nach \(x\) ab:

\[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = -L'\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I}{\partial x} \right). \]

Aus der zweiten Telegraphengleichung folgt

\[ \frac{\partial I}{\partial x} = -C'\frac{\partial U}{\partial t}. \]

Einsetzen ergibt

\[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}. \]

Dies ist eine Wellengleichung. Die allgemeine eindimensionale Wellengleichung lautet

\[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{1}{v_\mathrm p^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}. \]

Durch Koeffizientenvergleich erhält man

\[ v_\mathrm p=\frac{1}{\sqrt{L'C'}} \]

für eine ideale verlustfreie Leitung.

Für eine TEM-Welle in einem homogenen Medium kann die Geschwindigkeit auch geschrieben werden als

\[ v_\mathrm p = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} \]

mit

• \(c\): Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
• \(\varepsilon_r\): relative Permittivität des Dielektrikums,
• \(\mu_r\): relative Permeabilität.

Bei den üblichen nichtmagnetischen Kabeldielektrika gilt näherungsweise

\[ \mu_r\approx1, \]

sodass

\[ v_\mathrm p \approx \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

Die Signalausbreitung ist deshalb langsamer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Der sogenannte Velocity Factor bzw. Verkürzungsfaktor ist

\[ VF=\frac{v_\mathrm p}{c}. \]

Laufzeit des Signals

Zur Messung der Laufzeit wird das offene Ende des Koaxialkabels am Kanal CH2 des Oszilloskops angeschlossen. Die Flanke erscheint zuerst an CH1 und anschließend an CH2.

Die Zeitdifferenz beträgt

\[ \Delta t = t_{\mathrm{CH2}}-t_{\mathrm{CH1}}. \]

Diese Zeit entspricht der Einweglaufzeit durch das Kabel. Für eine bekannte Kabellänge \(l\) folgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit

\[ v_p=\frac{l}{\Delta t} \]

Theoretisch lässt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit auch über

\[ v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

bzw. näherungsweise als

\[ v_p\approx\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} \]

berechnen. In unserem Versuch brauchen wir \(\varepsilon_r\) jedoch nicht, weil wir \(v_p\) direkt aus bekannter Länge und gemessener Laufzeit bestimmen.

Reflexion am Kabelende

Hierzu wird das Kabelende offen gelassen. Das Signal läuft zum Kabelende und wird dort reflektiert.

Bei einem offenen Ende läuft die reflektierte Spannungswelle mit gleichem Vorzeichen zurück. Dadurch erscheint auf CH1 später eine zweite positive Flanke. Für die Reflexion gilt:

\[ \Delta t_{\mathrm{refl}} = \frac{2l}{v_p}. \]

Der Faktor 2 entsteht, weil das Signal das Kabel einmal hin und einmal zurück durchläuft.

Wellenwiderstand des Kabels

Der Wellenwiderstand \(Z_0\) ist nicht der normale ohmsche Widerstand des Kabels. Er beschreibt das Verhältnis von Spannung und Strom einer sich auf der Leitung ausbreitenden Welle. Bevor die Reflexion vom Kabelende wieder am Anfang angekommen ist, „sieht“ der Generator nur den Wellenwiderstand \(Z_0\) der Leitung. In diesem kurzen Zeitraum kann man Generator und Kabel als Spannungsteiler betrachten. Für den Spannungsteiler gilt:

\[ V_+ = V_S \frac{Z_0}{R_G+Z_0}. \]

Dabei ist

• \(V_S\): spätes Plateau bei offenem Ende, nachdem sich die Spannung auf die Leerlaufspannung eingestellt hat,
• \(R_G\): Ausgangswiderstand des Generators,
• \(Z_0\): Wellenwiderstand des Kabels,
• \(V_+\): Spannung des ersten Plateaus auf CH1 vor Rückkehr der Reflexion.

Nach \(Z_0\) umgestellt:

\[ V_+(R_G+Z_0)=V_SZ_0 \]

\[ V_+R_G=Z_0(V_S-V_+) \]

und damit

\[ Z_0 = R_G \frac{V_+}{V_S-V_+}. \]

Für unseren Aufbau:

\[ R_G=50\,\Omega, \]

Hinweise zur Auswertung

Die CSV-Datei enthält Zeit, CH1 und CH2.

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.signal import savgol_filter

df = pd.read_csv("messung.csv")

t_ns = df["Time"].to_numpy() * 1e9
ch1 = df["CH1"].to_numpy()
ch2 = df["CH2"].to_numpy()

Zur Flankenerkennung können die die Signale leicht geglättet werden:

ch1_s = savgol_filter(ch1, 15, 3)
ch2_s = savgol_filter(ch2, 15, 3)

Danach wird die Ableitung berechnet:

dch1 = np.gradient(ch1_s, t_ns)
dch2 = np.gradient(ch2_s, t_ns)

Eine steigende Flanke erzeugt einen Peak in

\[ \frac{dU}{dt}. \]

Die erste CH1-Flanke wird daher mit

i_ch1 = np.argmax(dch1)
t_ch1 = t_ns[i_ch1]

bestimmt.

Anschließend wird die CH2-Flanke gesucht und die Laufzeit berechnet:

delay_ns = t_ch2 - t_ch1

Dabei ist delay_ns \(= \Delta t\) die Einweglaufzeit des Signals durch das Kabel.