🌐 Filter

Filter sind Schaltungen, die abhängig von der Frequenz \(\omega\) die Amplitude \(U_{A}\) und Phasenlage \(\varphi\) eines (zeitlich veränderlichen) Signals verändern. Werden Filter bewusst eingesetzt können dadurch unerwünschte Signalanteile unterdrückt und Signalformen angepasst werden. Zu den einfachsten Filtern zählen der Hoch- und Tiefpass-Filter.

Ein Hoch- oder Tiefpass-Filter enthält mindestens ein Blindelement mit einer Kapazität \(C\) oder Induktivität \(L\), der als Energiespeicher fungiert.
Enthält die Schaltung mehr als ein Blindelement spricht man von einem Hoch- oder Tiefpass-Filter höherer Ordnung:
- Bei zwei Energiespeichern handelt es sich um einen Hoch- oder Tiefpass-Filter zweiter Ordnung.
- Bei drei Energiespeichern um einen Hoch- oder Tiefpass-Filter dritter Ordnung.
- ... .

Für alle weiteren Betrachtungen bezeichnen wir das Eingangssignal mit \(U_{E}\) und das Ausgangssignal mit \(U_{A}\).

➡️ Hochpass-Filter (Differenzierglied)

Ein kapazitiver Hochpass-Filter erster Ordnung besteht aus einem Kondensator, mit der Kapazität \(C\), mit einem in Reihe geschalteten (ohmschen) Widerstand \(R\), wie in Abb. 1 gezeigt:

**Abb. 1:Schaltung eines kapazitiven Hochpass-Filters erster Ordnung** bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität \(C\) und einem in Reihe geschalteten (ohmschen) Widerstand \(R\). Das Eingangssignal wird mit \(U_{E}\) bezeichnet das Ausgangssignal mit \(U_{A}\)

\(U_{A}\) wird über \(R\) abgegriffen. Die Schaltung kann als \(RC\)-Spannungsteiler interpretiert werden. Die Spannungen \(U_{E},\ U_{A}\) werden im Bild relativ zum gleichen Referenzpotential gemessen. Im Bild entspricht dieses Potential der Masse der Schaltung auf der die untere Leitung liegt (i.a. der äußeren Leitung beim Koaxialkabel entsprechend). Bei der oberen Leitung handelt es sich um die Signal führende Leitung (i.a. der inneren Leitung, oder Seele beim Koaxialkabel entsprechend).

Blendet man die Schaltung innerhalb der grauen Umrandung im Bild aus und behandelt sie als black box ist sie ein Beispiel für einen Vierpol (Zweitor), mit zwei Ein- und zwei Ausgangsklemmen und einem wohldefinierten Verhalten innerhalb der black box.

Harmonisches Signal

Beim Anlegen einer harmonischen Wechselspannung

\[ \begin{equation*} U_{E}(t) = U_{E,0}\,e^{i\omega\,t} \end{equation*} \]

gilt nach den Kirchhoffschen Regeln:

\[ \begin{equation} U_{E} = I_{E}\,R + \frac{I_{E}}{i\omega\,C};\qquad U_{A} = I_{A}\,R;\qquad I_{E}=I_{A}. \end{equation} \]

Für das Verhältnis von \(U_{A}\) zu \(U_{E}\) gilt:

\[ \begin{equation*} \frac{U_{A}}{U_{E}} = \frac{R}{R+\frac{1}{i\omega\,C}}= \frac{1}{1+\frac{1}{i\omega\,C\,R}}. \end{equation*} \]

Von praktischer Relevanz sind:

Der Spannungsübertrag (Transfer):

\[ \begin{equation*} \mu \equiv \frac{\left|U_{A}\right|}{\left|U_{E}\right|} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^{2}C^{2}R^{2}}}}. \end{equation*} \]

Die Phasendifferenz zwischen dem Ein- und Ausgangssignal:

\[ \begin{equation*} \Delta\varphi \equiv \arctan\left(\frac{1}{\omega\,C\,R}\right). \end{equation*} \]

Die Frequenz

\[ \begin{equation*} \omega_{0}=\frac{1}{C\,R} \end{equation*} \]

bezeichnet man als Grenzfrequenz.

Die Schaltung hat die folgenden wichtigen Eigenschaften:

Eigenschaften des Hochpass-Filters

Für hohe Frequenzen gilt \(\mu\to 1\), d.h. hochfrequente Signale passieren den Hochpass-Filter ungehindert.
Für \(\omega\to0\) gilt \(\mu\to 0\) und \(\Delta\varphi\to\pi/2\), d.h. niederfrequente Signale werden vom Hochpass-Filter unterdrückt.

Bei \(\omega_{0}\) gilt \(\mu=1/\sqrt{2}\) und \(\Delta\varphi=\pi/4\).

Nicht-harmonisches Signal

Für ein beliebiges, zeitlich veränderliches Signal und \(R\ll1/C\) lassen sich die Gleichungen (1) wie folgt annähern:

\[ \begin{equation} \frac{\mathrm{d}U_{E}}{\mathrm{d}t} \approx \frac{I_{E}}{C};\qquad U_{A} = I_{A}\,R;\qquad I_{E}=I_{A}=\frac{\mathrm{d}Q_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d}t}, \end{equation} \]

wobei \(\mathrm{d}Q_{\mathrm{C}}\) der zeitlich veränderlichen Ladung am Kondensator entspricht. Diese Näherung entspricht dem Lade- und Entladevorgang des Kondensators unter Gleichstrom:

\[ \begin{equation*} U_{A}(t)=C\,R\,\frac{\mathrm{d}U_{E}}{\mathrm{d}t}. \end{equation*} \]

Da \(U_{A}\propto\dot{U}_{E}\) bezeichnet man den Hochpass-Filter in diesem Fall auch als Differenzierglied.

➡️ Tiefpass-Filter (Integrierglied)

Im Vergleich zum Hochpass-Filter sind für den Tiefpass-Filter die Rollen und Reihenfolge des Kondensators und des (ohmschem) Widerstands vertauscht, wie in Abb. 2 gezeigt:

**Abb. 2:Schaltplan eines kapazitiven Tiefpass-Filters erster Ordnung** bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität \(C\) und einem in Reihe geschalteten ohmschen Widerstand \(R\). Das Eingangssignal wird mit \(U_{E}\) bezeichnet das Ausgangssignal mit \(U_{A}\)

\(U_{A}\) wird in diesem Fall über \(C\) abgegriffen.

Harmonisches Signal

Aus den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für diese Schaltung:

\[ \begin{equation} U_{E} = I_{E}\,R + \frac{I_{E}}{i\omega\,C};\qquad U_{A} = \frac{I_{A}}{i\omega\,C};\qquad I_{E}=I_{A}. \end{equation} \]

Für das Verhältnis von \(U_{A}\) zu \(U_{E}\) gilt:

\[ \begin{equation*} \frac{U_{A}}{U_{E}} = \frac{\frac{1}{i\omega\,C}}{R+\frac{1}{i\omega\,C}} = \frac{1}{i\omega\,C\,R+1}. \end{equation*} \]

Für \(\mu\) und \(\Delta\varphi\) ergibt sich daraus:

\[ \begin{equation*} \begin{split} &\mu=\frac{\left|U_{A}\right|}{\left|U_{E}\right|} = \frac{1}{\sqrt{\omega^{2}C^{2}R^{2}+1}};\\ &\\ &\Delta\varphi = -\arctan\left(\vphantom{\frac{1}{\omega\,C\,R}}\omega\,C\,R\right). \end{split} \end{equation*} \]

In diesem Fall kehren sich die Verhältnisse relativ zum Hochpass-Filter um:

Eigenschaften des Tiefpass-Filters

Für \(\omega\to0\) gilt \(\mu\to1\), d.h. niederfrequente Signale passieren den Tiefpass-Filter ungehindert.
Für hohe Frequenzen gilt \(\mu\to0\) und \(\Delta\varphi\to-\pi/2\), d.h. hochfrequente Signale werden vom Tiefpass-Filter unterdrückt.

Für \(\omega_{0}\) nehmen \(\mu\) und \(\Delta\varphi\) die gleichen Werte wie im Fall des Hochpass-Filters an.

Nicht-harmonisches Signal

Für ein beliebiges, zeitlich veränderliches Signal und \(1/C\ll R\) lassen sich die Gleichungen (3) wie folgt annähern:

\[ \begin{equation} U_{E}\approx I_{E}\,R ;\qquad U_{A} = \frac{1}{C}\int I_{A}\,\mathrm{d}t;\qquad I_{E}=I_{A}. \end{equation} \]

Die Spannung \(U_{A}\) ergibt sich aus der Ladungsänderung \(I_{A} \mathrm{d}t\) am Kondensator. In diesem Fall ist

\[ \begin{equation*} U_{A}(t)=\frac{1}{C\,R}\,\int U_{E}(t)\,\mathrm{d}t. \end{equation*} \]

Da \(U_{A}\propto\int U_{E}\ \mathrm{d}t\) bezeichnet man den Tiefpass-Filter in diesem Fall auch als Integrierglied.

📌 Erwartung

Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:

Lernziele

Sie wissen und verstehen, wie man einen (kapazitiven) Hochpass-Filter (erster Ordnung) schaltet.
Sie wissen und verstehen, dass man den Hochpass-Filter für hochfrequente oder kurze Signale als analoges Differenzierglied verwenden kann.
Sie wissen und verstehen, wie man einen (kapazitiven) Tiefpass-Filter (erster Ordnung) schaltet.
Sie wissen und verstehen, dass man den Tiefpass-Filter für hochfrequente oder kurze Signale als analoges Integrierglied verwenden kann.

📝 Fragen zum Selbsttest

Fragen zum Selbsttest

Warum kommt im Vergleich zu den Gleichungen (1) und (3) in den Gleichungen (2) und (4) kein Faktor \(i\omega\) vor?