Hinweise zur Spektrometrie

Gitterspektrometer

Eine schematische Darstellung des Gitterspektrometers, wie es Ihnen für den Versuch Interferenz zur Verfügung steht ist in Abb. 1 gezeigt:

Es besteht aus einem Grundstativ, auf das der sog. Prismentisch monitiert ist, einem Spaltrohr (in der Mitte des Bildes) und einem Fernrohr (rechts im Bild). Links neben dem Spektrometer ist die Spektrallampe dargestellt.

Auf dem Prismentisch wird das Gitter montiert. Vor dem Spaltrohr befindet sich die Spektrallampe als Lichtquelle. In der Spektrallampe entsteht Licht durch stochastische Anregung von Na- oder Zn-Atomen, die beim Übergang in den Grundzustand Licht von charakteristischen Wellenlängen abstrahlen. 🔔 Die Untersuchungen am Gitter erfordern kohärent und parallel eingestrahltes Licht. Dies wird durch den Einsatz des Spaltrohrs erreicht, das als Kollimator Strahlen mit geringer räumlicher Divergenz auswählt. 🔔 Durch die Lebensdauer der angeregten Zustände ist für (näherungsweise) parallel auslaufende Strahlen bereits eine Kohärenzlänge von bis zu \(3\ \mathrm{m}\) garantiert. Die vom Gitter auslaufenden Strahlen werden mit einem Fernrohr beobachtet, das (in telekopischer Einstellung) auf Lichtstrahlen aus großer Entfernung fokussiert ist (siehe P1-Versuch Geometrische Optik). Das Fernrohr ist mit einer feinen Winkelskala am Grundstativ drehbar montiert, so dass es als Goniometer fungieren kann.

Bei der Justierung des Spektrometers ist es wichtig Spaltrohr, Prismentisch und Fernrohr gut in einer Ebene und ohne gegenseitige Verdrehungen oder Verkantungen zu positionieren. Die Öffnung des Spalts am Spaltrohr sollte geeignet vorgenommen werden, Spalt und Gitterfurchen parallel zur Drehachse des Fernrohrs verlaufen und das Fernrohr auf das durch den parallelen Strahlengang erzeugte Bild des Spalts fokussiert sein. Eine detaillierte Anleitung zur Justierung des Spektrometers finden Sie in den Datenblättern der verwendeten Apparatur. Eine Kurzanleitung finden Sie in den Hinweisen zur Versuchsdurchführung.

Sie verwenden das Gitterspektrometer zur Ausmessung einiger Spektrallinien von Na und Zn.

Spektrallampen

Die für diesen Versuch relevanten Linien des Na-Spektrums haben die Wellenlängen:

\(\lambda_{\mathrm{D_{1}}} = 589.59\ \mathrm{nm}\) (gelb)
\(\lambda_{\mathrm{D_{2}}} = 589.00\ \mathrm{nm}\) (gelb).

Die Bezeichnungen der Linien mit \(\mathrm{D}_{1}\) und \(\mathrm{D}_{2}\) sind historisch.

Die für diesen Versuch relevanten Linien des Zn-Spektrums haben die Wellenlängen:

\(\lambda_{1} = 636.23\ \mathrm{nm}\) (rot)
\(\lambda_{2} = 481.05\ \mathrm{nm}\) (blaugrün)
\(\lambda_{3} = 472.22\ \mathrm{nm}\) (blau)
\(\lambda_{4} = 468.01\ \mathrm{nm}\) (violettblau).

Die beobachteten Spektrallinien besitzen eine endliche spektrale Breite, die durch die folgenden Effekte bestimmt wird:

Natürliche Linienbreite

Die normale Lebensdauer angeregter Atomzustände liegt im Bereich von \(\tau\approx10\ \mathrm{ns}\). Daraus folgt eine natürliche Linienbreite von

\[ \begin{split} &\delta\nu = \frac{1}{2\pi\,\tau}; \qquad \nu = \frac{c}{\lambda}; \qquad \left|\frac{\delta\nu}{\delta\lambda}\right| = \frac{c}{\lambda^{2}}; \\ &\\ &\delta\lambda = \frac{\lambda^{2}}{2\pi\,c\,\tau} \\ &\hphantom{\Delta\lambda}=\frac{(589.3\,\mathrm{nm})^{2}}{2\pi\cdot2.99\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\cdot 10\, \mathrm{ns}} = 1.8\times10^{-5}\,\mathrm{nm} \end{split} \]

Dopplerverbreiterung

Da sich die strahlenden Atome bei einer Gasentladung nicht in Ruhe befinden, kommt es zusätzlich zur natürlichen Linienbreite zur Dopplerverbreiterung:

\[ \delta\lambda = \frac{\lambda}{c}\sqrt{\frac{8\, k_{B}\, T\, \ln(2)}{M}}, \]

wobei \(M\) der Teilchenmasse (in \(\mathrm{kg}\)) entspricht. Eine Na-Niederdrucklampe weist eine Farbtemperatur von \(T=1800\ \mathrm{K}\) auf. Für \(\langle\lambda\rangle=589.3\ \mathrm{nm}\) ergibt sich daraus eine Dopplerverbreiterung von

\[ \delta\lambda=3.75\times10^{-3}\ \mathrm{nm} \]

Druckverbreiterung

Zusätzlich beeinflussen Stöße und Wechselwirkungen der Atome untereinander die Lebensdauer angeregter Zustände und führen somit zur sog. Stoß- oder Druckverbreiterung der Linien. 💡 Dieser Effekt spielt wegen des niedrigen Drucks in den verwendeten Spektrallampen jedoch eine vernachlässigbare Rolle. 💡

Spalt des Gitterspektrometers

Das Gitter im Spektrometer wird im Idealfall mit kohärent und parallel eingestrahltem Licht beleuchtet. 💡 Dieser Zustand wäre z.B. durch eine perfekte Punktlichtquelle im Brennpunkt einer idealen Linse gegeben. In der Realität ist ein solcher Zustand nicht zu erreichen. Er wird angenähert, indem man das Bild der zwangsläufig räumlich ausgedehnten Gasentladung durch einen schmalen Spalt der Breite \(D\), den Kohärenzspalt beschränkt. Dieser erzwingt die Verdetsche Köhärenzbedingung

\[ D\,\frac{d}{f} = D\,\sin\vartheta\lesssim\lambda, \tag{1} \]

wobei \(\lambda\) der Wellenlänge des beobachteten Lichts, \(d\) der Breite des beleuchteten Gitters, \(f\) der Brennweite der Linse zwischen Beleuchtungsspalt und Gitter und und \(\vartheta\) dem halben effektiven Öffnungswinkel des Strahlengangs zwischen Beleuchtungsspalt und Gitter entsprechen.

💡 Um Gleichung (6) hier voll ausnutzen zu können würde man \(D\) so groß wie möglich wählen, um möglichst viele Gitterspalte zu beleuchten. Für die Breite des Spalts gibt es jedoch zwei begrenzende Randbedingungen:

Ist \(D\) zu groß geht die Kohärenzbedingung aus Gleichung (1) verloren.
Für die Sichtbarkeit der zu beobachtenden Linien muss der Spalt eine gewisse Mindestbreite haben. Er wird andererseits aber auch mit \(D\) ins Fernrohr abgebildet. Soll Gleichung (6) hier die Unterscheidung von Differenzen der Wellenlänge von \(\delta\lambda\) zulassen, darf das Bild von \(D\) im Fernrohr nicht breiter sein als die Trennung der Linien aufgrund von \(\delta\lambda\) die andernfalls überlappen.

Der Winkel \(\vartheta\) ist durch die Abmessungen der Apparatur vorgegeben (siehe Datenblatt zum Versuch):

\[ \begin{split} &f=17.5{-}18\ \mathrm{cm}\,(\text{Brennweite der Linse}); \\ &\\ &d=17.5\ \mathrm{mm}\,(\text{Durchmesser der Linse});\\ &\\ &D\lesssim40{-}50\,\lambda, \end{split} \]

wobei wir für diese Abschätzung angesetzt haben, dass der Bereich innerhalb \({\lesssim}d/4\) der Linse für die Beleuchtung des Gitters von Relevanz ist. Für \(\lambda=589.3\,\mathrm{nm}\) ergibt sich daraus eine Spaltbreite von \(D\approx20{-}30\,\mathrm{\mu m}\).

Einstellung des Spektrometers

Damit die Messung gelingen kann sollten die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

Spalt- und Fernrohr befinden sich horizontal ausgerichtet in einer Ebene. ☝️ Das Fernrohr ist in dieser Ebene schwenkbar montiert.
Der Prismentisch, auf dem das Gitter platziert wird, ist horizontal, plan zur Schwenkebene des Fernrohrs ausgerichtet.
Die Linien des Gitters sind parallel zur Drehachse des Fernrohrs ausgerichtet.

Hierzu ist es notwendig, das Spektrometer neu auszurichten, oder dessen Ausrichtung zumindest zu überprüfen. Eine bebilderte Anleitung hierzu finden Sie in den Datenblättern zur Apparatur.