Reversionspendel

Eigenschaften des Reversionspendels

🔔 Beim Reversionspendel handelt es sich um ein Pendel, das in der Gravimetrie, d.h. zur (lokalen) Messung der Erdbeschleunigung $g$ verwendet wird. Grundsätzlich lässt sich $g$ aus der Periodendauer $T_{0}$ des physikalischen Pendels, wie folgt berechnen:

\[ \begin{equation} T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,g\,s}};\qquad g = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}\frac{\Theta}{m\,s}. \tag{1} \end{equation} \]

Dabei entspricht $s$ dem Abstand zwischen der Aufhängung A und dem Schwerpunkt S, $\Theta$ dem Trägheitsmoment und $m$ der Masse des Pendels.

🔔 Die Schwierigkeit bei der Verwendung von Gleichung (1) besteht darin, dass man $\Theta$ und $s$ möglichst exakt kennen muss. Dies ist bei komplexen Körpern, oder wenn eine Messung wirklich sehr präzise sein soll schwierig zu erreichen. Das Reversionspendel ist eine einfache Konstruktion, um diese Schwierigkeit experimentell und auf elegante Weise zu umgehen. Es besteht aus einem Pendelstab P, einem (K) festen und einem (K') verschiebbaren Auflagekeil, wie in Abb. 1 gezeigt:

**Abb. 1:** Schematischer Aufbau eines Reversionspendels. In Abb. (a) ist die Auflage auf dem festen Keil K, in Abb. (b) die Auflage auf dem beweglichen Keil K' gezeigt

🔔 Für die weitere Diskussion gehen wir von der folgenden vereinfachten Konstruktion aus:

Das Pendel liegt grundsätzlich mit K im Punkt A auf (Abb. 1a).
K' kann entlang P verschoben werden. Beachten Sie, dass sich dabei sowohl $\Theta$, als auch der Abstand $d$ zwischen K und K' ändern;
Die Abmessungen von K und K' sind der Art, dass ihre jeweiligen Schwerpunkte in den Auflagepunkten angenommen und die Trägheitsmomente aufgrund ihrer endlichen Ausdehnung vernachlässigt werden können.
Dreht man P um $180^{\circ}$ liegt es mit K' im Punkt A' auf (Abb. 1b).

🔔 Die reduzierte Länge $\ell_{r}$ des physikalischen Pendels entspricht der Länge, die ein hypothetisches mathematisches Pendel mit der gleichen Periodendauer $T_{0}$ hätte:

\[ \begin{equation*} \begin{split} &T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{\ell_{r}}{g}};\qquad T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,g\,s}}\\ &\\ &\ell_{r}\equiv\frac{\Theta}{m\,s}\qquad(\text{reduzierte L\"ange}).\\ \end{split} \end{equation*} \]

Die Schwingung des physikalischen Pendels ist also zur Schwingung eines mathematischen Pendels der Länge $\ell_{r}$ äquivalent.

Spezialfall: Langer dünner Stab

Für einen dünnen Stab der Länge $\ell$, der um einen seiner Endpunkte schwingt gilt für $\Theta$ und $s$:

\[ \begin{equation*} \Theta = \frac{1}{3}m\,\ell^{2}; \qquad s = \frac{1}{2}\ell. \end{equation*} \]

Daraus ergeben sich $\ell_{r}$ und $T_{0}$ zu

\[ \begin{equation} \begin{split} &\ell_{r} = \frac{\frac{1}{3}m\,\ell^{2}}{\frac{1}{2}\ell\,m} = \frac{2}{3}\ell; \\ &\\ &T_{0} =2\pi\sqrt{\frac{\ell_{r}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}}. \end{split} \tag{2} \end{equation} \]

🔔 Positioniert man K' im Abstand $d=\ell_{r}$ zu A besitzt das Reversionspendel zwei bemerkenswerte, nicht-triviale Eigenschaften:

Eine zusätzliche Masse $\mathbf{m'}$ in der Position $\mathbf{d=\ell_{r}}$ ändert $\mathbf{T_{0}}$ nicht. In diesem Fall ändern sich $\Theta$ und $s$ wie folgt:

$$ \begin{split} &\Theta\to\Theta' = \frac{1}{3}m\,\ell^{2} + m'\left(\frac{2}{3}\ell\right)^{2};\ &\ &\ &s\,\,\to s'\, = \frac{\frac{1}{2}\ell\,m+\frac{2}{3}\ell\,m'}{m+m'}\ &\ &\ &T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta'}{(m+m')\,g\,s'}} = 2\pi\sqrt{\frac{(\frac{1}{2}m\ell+\frac{2}{3}m'\ell)\frac{2}{3}\ell}{(\frac{1}{2}\ell\,m+\frac{2}{3}\ell\,m')g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}}.\ \end{split} $$

Der Vergleich mit Gleichung (2) zeigt, dass $T_{0}$ tatsächlich unverändert bleibt!

Dreht man das Pendel um $\mathbf{180^{\circ}}$, schwingt es mit der gleichen Periodendauer $\mathbf{T_{0}}$. Beachten Sie hierzu Abb. 1b. In gedrehtem Zustand befindet sich 1/3 des Stabs oberhalb(!) der Aufhängung. Für das Direktionsmoment gilt daher:

$$ D' = \frac{1}{6}\ell\,m\,g. $$

Für das Trägheitsmoment gilt nach dem Satz von Steiner:

$$ \Theta' = \frac{1}{12}m\ell^{2}+m\left(\frac{1}{6}\ell\right)^{2} = \frac{1}{9}m\,\ell^{2}. $$

Daraus ergibt sich für $T_{0}$:

$$ T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta'}{D'}}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{9}m\,\ell^{2}}{\frac{1}{6}\ell\,m\,g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}}. $$

Der Vergleich mit Gleichung (1) zeigt, dass $T_{0}$ tatsächlich unverändert bleibt!

🔔 Beide Eigenschaften sind hier für einen Spezielfall gezeigt, der auf den Versuch anwendbar ist. Sie gelten aber (ohne Beweis) allgemein!

🔔 Ausführliche Betrachtungen zum Reversionspendel gehen auf Friedrich Wilhelm Bessel zurück.

🔔 Unabhängig von der exakten Form des Pendels, lässt sich die Position $d=\ell_{r}$ zwischen K und K' also z.B. dadurch auffinden, dass $T_{0}$ für die Aufhängungen in den Punkten A und A' jeweils den gleichen Wert hat.

🔔 Hat man $d=\ell_{r}$ sicher aufgefunden lässt sich $g$, ohne Kenntnis von $\Theta$ oder $s$, aus der Gleichung

\[ \begin{equation*} g = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}\ell_{r} = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}d \end{equation*} \]

bestimmen.

Auswertung der Messungen mit dem Reversionspendel

🔔 Sie sollten für Ihre Messungen mit dem Reversionspendel die folgenden Erwartungen haben:

$T_{0}(d)$ hat einen linearen Verlauf, $T_{0}\propto d$;
$T_{0}^{\prime}(d)$ hat einen konvexen Verlauf, z.B. $T_{0}'\propto d^{2}$;
Für $\ell_{r}$ gilt $T_{0}(\ell_{r})=T_{0}'(\ell_{r})$.

Verwenden Sie zur Anpassung an die Datenpunkte z.B. die Modelle:

\[ \begin{equation} \begin{split} &T_{0}(d) = \beta'\,d + \gamma'\\ &\\ &T_{0}'(d) = \alpha\,(d-\beta)^{2} + \gamma,\\ \end{split} \tag{3} \end{equation} \]

mit den freien Parametern $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \beta',\ \gamma'$. Die angepassten Kurven sollten einen Schnittpunkt aufweisen.

Tragen Sie, zur Bestimmung von $\ell_{r}$ die Messpunkte $(d_{i},D(d_{i}))$ mit

\[ \begin{equation*} D(d_{i}) = T_{0}(d_{i})-T_{0}'(d_{i}) \end{equation*} \]

auf. Passen Sie an diese Datenreihe das Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung (3) an.

🔔 Aus der folgenden Rechnung können Sie sich leicht überzeugen, dass Sie für $D(d_{i})$ den gleichen quadratischen Zusammenhang als Funktion von $d$, wie für $T_{0}'$ erwarten:

\[ \begin{equation*} \begin{split} D(d) &= T_{0}(d) - T_{0}'(d);\\ &\\ & = \bigl(\beta'\,d + \gamma'\bigr) - \bigl(\alpha\,d^{2} - 2\alpha\beta\,d + \left(\alpha\,\beta^{2}+\gamma\right)\bigr);\\ &\\ & = -\alpha\,d^{2} + \underbrace{(\beta'+2\alpha\,\beta)}\,d + \underbrace{\left(\gamma'-\left(\alpha\,\beta^{2}+\gamma\right)\right)}\\ &\hphantom{= -\alpha\,d^{2} +\beta'-} \equiv\widetilde{\beta} \hphantom{\beta + \gamma'-\beta^{2}+}\equiv\widetilde{\gamma}\\ \end{split} \end{equation*} \]

🔔 Mit der gleichen Parameterwahl, wie für das Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung (3) können Sie $\ell_{r}$ leicht mit Hilfe der folgenden Umstellung

\[ \begin{equation*} \begin{split} & D(\ell_{r}) = \hat{\alpha}\,(\ell_{r}-\hat{\beta})^{2} + \hat{\gamma} = 0; \\ &\\ & \ell_{r} = \pm\sqrt{-\frac{\hat{\gamma}}{\hat{\alpha}}}+\hat{\beta} \end{split} \end{equation*} \]

bestimmen. Eine Gerade hat bis zu zwei Schnittpunkte mit einer Parabel. Vergewissern Sie sich welche Lösung für $\ell_{r}$ für Sie von Relevanz ist.

Wir empfehlen für diese Aufgabe die Bestimmung der Unsicherheit $\Delta\ell_{r}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung.
Nutzen Sie hierzu die Unsicherheiten der Parameter $\alpha,\ \beta,\ \gamma$, wie Sie sie aus der Anpassung an die Daten erhalten haben.
Bestandteil der Ausgabe der Anpassung des Modells für $T_{0}'$ aus Gleichung (3) ist eine Kovarianzmatrix für die angepassten Parameter $\alpha,\ \beta,\ \gamma$, woraus Sie überprüfen können, inwiefern die Annahme der Unabhängigkeit dieser Parameter gerechtfertigt ist.

🔔 Anmerkung: Sie können die Parameter $\alpha,\ \beta,\gamma$ durch Variablentransformation

\[ \begin{equation*} d\to d'=d+\beta; \qquad D\to D'=D-\gamma, \end{equation*} \]

so dass der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems im Scheitelpunkt der angepassten Parabel liegt, vollständig dekorrelieren.

Erwartung

Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:

✅ Sie kennen und verstehen das Prinzip des Reversionspendels.
✅ Sie können die vorgestellten Eigenschaften des Reversionspendels für den Spezialfall des dünnen Stabs diskutieren.
✅ Sie verstehen das Prinzip nachdem Sie die Daten auswerten.

Testfragen

Was könnte an der Bestimmung von $\Theta$ und $s$ so unsicher sein?
Kann man mit dem Reversionspendel präziser messen als mit dem Fadenpendel?