🌐 Auswertung

➡️ Bestimmung der Trägheitsmomente \(\theta_{x}^{\prime},\,\theta_{y}^{\prime},\,\theta_{z}^{\prime}\)

Die Trägheitsmomente \(\theta_{x}'\), \(\theta_{y}'\) und \(\theta_{z}'\) des kardanisch gelagerten Kreisels lassen sich aus den Messungen der Aufgaben 2.1 und 2.2 auf zwei Methoden bestimmen:

• Methode-1: Sie betrachten alle Messungen als unabhängig und extrahieren die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt.
• Methode-2: Sie passen mit Hilfe der Multifit-Funktion aus kafe2, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen an.

Tipp

Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung der gesuchten Parameter zu nutzen.

Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind.

➡️ Methode-1

Schritt-1:

Hierbei nutzen Sie, im Rahmen von Aufgabe 2.1, zunächst die Messung von \(\omega_{N}\) als Funktion von \(\omega\) zur Berechnung von \(\theta_{x}'\) nach Gleichung (2) hier:

\[ \begin{equation} \omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}. \label{eq_Nutation} \end{equation} \]

Dabei nutzen Sie die Messung einmal mit und einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen \(\theta_{x}'\), \(\theta_{y}'\) und \(\theta_{z}'\) in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben.

Zunächst bestimmen Sie die Steigungen \(\mu_{1}\) und \(\mu_{2}\) mit und ohne Zusatzgewichte:

\[ \begin{equation*} \begin{split} &\omega_{N} = \mu_{j}\,\omega; \\ &\\ &\mu_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad \mu_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathcal{Z}})\,\theta_{y}'}}; \\ &\\ &\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\ &\\ &\theta_{\mathcal{Z}} = 2\,\left(\frac{1}{8}m_{\mathcal{Z}}\,d_{\mathcal{Z}}^{2}+m\,\ell_{\mathcal{Z}}^{2}\right), \end{split} \end{equation*} \]

wobei \(m_{\mathcal{Z}}\) der Masse und \(d_{\mathcal{Z}}\) dem Durchmesser der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und \(\ell_{\mathcal{Z}}\) dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen.

Tipp

Sie finden diese Informationen im Datenblatt zum Versuch.

\(\theta_{\mathcal{Z}}\) ergibt sich aus der Anwendung des Satzes von Steiner für zwei Zusatzgewichte.

Aus dem Quotienten

\[ \begin{equation*} \begin{split} &\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathcal{Z}}}}; \\ &\\ &\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathcal{Z}}}{\frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}-1} \\ \end{split} \end{equation*} \]

lässt sich \(\theta_{x}'\) bestimmen.

Schritt-2:

Das Trägheitsmoment \(\theta_{z}'\) lässt sich aus der Messung aus Aufgabe 2.2 nach Gleichung (2) hier bestimmen:

\[ \begin{equation} \begin{split} T(\omega) = &\underbrace{\frac{2\pi\,\theta_{z}'}{m_{\mathrm{Stab}}\,g\,s}}\,\omega = \kappa \,\omega,\\ &\hphantom{cc}\equiv\kappa\\ \end{split} \tag{2} \end{equation} \]

wobei \(m_{\mathrm{Stab}}\) der Masse und und \(s\) dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und \(g\) der Erdbeschleunigung entsprechen.

Tipp

Angaben zu \(m_{\mathrm{Stab}}\) finden Sie im Datenblatt zum Versuch. Aus \(\kappa\) erhalten Sie \(\theta_{z}'\) aus der Gleichung:

\[ \begin{equation*} \theta_{z}' = \frac{m_{\mathrm{Stab}}\,g\,s\,\kappa}{2\pi}. \end{equation*} \]

Schritt-3:

Mit dem Wissen um \(\theta_{x}'\) und \(\theta_{z}'\) können Sie nun \(\theta_{y}'\) am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung \(\mu_{1}\) bestimmen:

\[ \begin{equation*} \begin{split} & \mu_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad \theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{\mu_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\ \end{split} \end{equation*} \]

Hinweis

Achten Sie bei einer Berechnung der Trägheitsmomente nach dieser Methode auf die korrekte Fortpflanzung aller Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!

➡️ Methode-2:

Für die Bestimmung von \(\theta_{x}'\), \(\theta_{y}'\) und \(\theta_{z}'\) nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den Aufgaben 2.1 und 2.2 an die MultiFit-Funktion aus dem Programm-Paket kafe2 und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (2) hier und Gleichung (2) hier.

Tipp

• Ein Beispiel für die Nutzung der Multifit-Funktion finden Sie in der offiziellen Dokumentation des kafe2-Programmpakets hier.
• Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden Sie hier.
• Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der MultiFit-Klasse sollten Sie zwei XYFit-Objekte zu den Modellen \(\omega_{N}^{(1)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}')\) und \(\omega_N^{(2)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}', \theta_{\mathcal{Z}})\) für die Messungen der Nutation und \(j\) XYFit-Objekte zu den Modellen \(T^{(j)}(\omega, \theta_{z}', m_{\mathrm{Stab}}^{(j)}, s^{(j)}, g)\) für die Messung(en) der Präzession definieren, wobei \(j\) den verwendeten Konfigurationen mit zusätzlichem Gewicht am Stahlstab entsprechen.
• Geben Sie für jedes XYFit-Objekt auch die Unsicherheiten auf \(\omega\) individuell an.
• Da es sich bei jeder Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen XYFit-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) nicht korreliert.
• Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte \(\theta_{x}',\ \theta_{y}',\ \theta_{z}'\) und Unsicherheiten auf \(\Delta\theta_{x}',\ \Delta\theta_{y}',\ \Delta\theta_{z}'\) aus der Anpassung.

➡️ Bestimmung der Masse des Rotors

Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang

\[ \begin{equation*} \theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d_{\mathrm{Rotor}}}{2}\right)^{2}, \end{equation*} \]

wobei \(M_{\mathrm{Rotor}}\) der Masse und \(d_{\mathrm{Rotor}}\) dem Durchmesser des Rotors entsprechen. Aus der Kenntnis von \(\theta_{z}'\) und \(d_{\mathrm{Rotor}}\) lässt sich auf diese Weise \(M_{\mathrm{Rotor}}\pm\Delta M_{\mathrm{Rotor}}\) abschätzen.

Tipp

Angaben zu \(d_{\mathrm{Rotor}}\) finden Sie im Datenblatt zum Versuch.