H07 Kreisel

🏃 Motivation

Die uns umgebende Natur ist i.a. weder geradlinig noch punktförmig, wie in der Schule oder den ersten Einführungsvorlesungen der Mechanik oft vorausgesetzt. Physikalische Körper bewegen sich im dreidimensionalen Raum und haben eine endliche Ausdehnung.

Als erste Konsequenz erfolgt die Beschreibung der Bewegung physikalischer Körper nicht allein mit der Hilfe skalarer Größen, wie der Masse \(m\), sondern zusätzlich mit der Hilfe von Vektoren, mehr-komponentigen mathematischen Darstellungen mit einem fest vorgegebenen Verhalten unter Transformationen im Raum, wie dem Ortsvektor \(\vec{r}\). Ausgedehnte Körper, bei denen einzelne Punkte im Raum in festen Beziehungen zueinander stehen, werden zudem mit Hilfe von Tensoren beschrieben. Die Welt der analytischen Geometrie wird durch komplizierte Verknüpfungen wie das innere, das äußere oder das Tensorprodukt bestimmt. Auch andere wichtige mathematische Gebilde, wie der Hilbertraum, sind der Natur abgeschaut. Dies zeigt, dass die Mathematik nicht im freien Raum schwebt, sondern in den meisten Disziplinen fest mit der Beschreibung der uns umgebenden Natur verknüpft ist.

Im Gegenzug können ausgedehnte Körper manchmal nicht-intuitive, zum Teil verrückt anmutende Bewegungen ausführen, die doch durch die Sprache der analytischen Geometrie genau beschrieben und vorhergesagt werden können. Gerade aufgrund seiner bemerkenswerten Bewegungsformen ist der Kreisel vielen von Ihnen, als physikalisches Spielzeug, von Kindesbein an wohl bekannt. In der Physik ist der Kreisel ein niemals langweiliges Studienobjekt, um die manchmal nicht-intuitive Erfahrungswelt der uns umgebenden Realität mit der manchmal nicht besonders anschaulichen Welt der Mathematik in Verbindung zu bringen. Dieses Spannungsfeld macht diesen Versuch so besonders.

🏁 Lernziele

Wir listen im Folgenden auf, was wir von Ihnen erwarten, nachdem Sie diesen Versuch erfolgreich absolviert haben:

Lernziele

Sie kennen und verstehen die Einteilung physikalischer Größen in Skalare, Vektoren und Tensoren.
Sie können den Trägheitstensor \(\mathbf{\Theta}\) aus den Definitionen des Drehimpulses und der Winkelgeschwindigkeit ableiten.
Sie können erklären, was die Hauptträgheitsachsen eines symmetrischen Kreisels sind und wie man diese bestimmt.
Sie können die Phänomene der Nutation und der Präzession starrer Körper am Beispiel eines symmetrischen Kreisels beschreiben.
Sie wissen was ein kardanisch gelagerter Kreisel ist.

🚀 Weiterführendes Angebot

Falls Sie aus diesem Versuch noch mehr für sich mitnehmen möchten, als im Abschnitt Lernziele beschrieben, bietet er Ihnen Gelegenheit sich mit den folgenden Themen tiefer gehend zu beschäftigen:

Weiterführende Angebote

Die Verbindung zwischen den Hauptträgheitsmomenten eines symmetrischen Kreisels und der mathematischen Operation der Hauptachsentransformation.
Die Verbindung zwischen der Hauptachsentransformation und dem mathematischen Eigenwertproblem.
Die Eigenschaften des Trägheitsellipsoids.
Die analytische Geometrie in Vektor- und Komponentenschreibweise.
Die physikalischen Grundlagen des Kreiselkompasses.

🔬 Versuchsaufbau

Dieser Versuch besteht aus zwei Aufgaben. Im Folgenden sind die verwendeten Aufbauten kurz beschrieben. Eine Auflistung der für Ihre Auswertung wichtigsten Apparate und deren Eigenschaften finden Sie im Datenblatt zum Versuch.

➡️ Physik starrer Körper

Im Rahmen von Aufgabe 1 machen Sie ganz persönliche Erfahrungen mit der Physik starrer Körper, bei denen Sie z.T. selbst das Versuchsobjekt sind. Entsprechende Versuchsaufbauten sind in Abb. 1 gezeigt:

**Abb. 1:** Aufbauten und Apparaturen für **Aufgabe 1** des Versuchs **Kreisel**

Hierzu stehen Ihnen die folgenden Utensilien zur Verfügung:

Ein Drehschemel und ein Rad mit Zugband und Griffen (im Folgenden auch als Fahrradkreisel bezeichnet).
Eine Sammlung von Holzquadern, die Sie in ihren Schwerpunkten zu jeder Grundfläche an einem langen starren Draht aufhängen können. Der Draht kann mit Hilfe eines externen Elektromotors in (langsame) Drehung versetzt werden, so dass Sie das Verhalten der Holzquader bezüglich jeder Ihrer Hauptträgheitsachsen untersuchen können.
Ein kardanisch gelagerter Kreiselkompass auf einer drehbaren, tellerförmigen Standfläche. Die Standfläche dient als Modell der rotierenden Erde. Der Kreisel lässt sich gegen die Standfläche verkippen, um variierende Breitengrade nachzustellen. Der innere Kardanrahmen des Kreisels ist mit Schraubenfedern in der angenommenen Tangential- (Horizontal-)ebene des eingestellten Breitengrads fixiert. Der Rotor des Kreisels kann mit Hilfe einer aufsetzbaren Antriebskurbel in Rotation versetzt werden. Die Standfläche wiederum kann mit Hilfe eines externen Elektromotors in eine langsame gleichmäßige Rotation versetzt werden, um die Revolution der Erde zu simulieren.

➡️ Kardanisch gelagerter Kreisel

Im Rahmen von Aufgabe 2 führen Sie quantitative Untersuchungen an einem kardanisch gelagerten Kreisel durch, den Sie mit Hilfe eines externen Elektromotors antreiben können. Ein typischer Aufbau ist in Abb. 2 gezeigt:

**Abb. 2:** Ein typischer Aufbau für **Aufgabe 2** des Versuchs **Kreisel**

Der Rotor des Kreisels wird durch zwei Kardanrahmen gehalten. An den äußeren Kardanrahmen lassen sich (beidseitig) zwei Zylinder, als zusätzliche Gewichte anbringen. An den inneren Kardanrahmen kann (einseitig) ein Metallstab angebracht werden.
Mit Hilfe der symmetrisch zu montierenden Zylinder erhöhen Sie das Trägheitsmoment entlang einer der Hauptträgheitsachsen des Kreisels.
Mit Hilfe des Stabs sorgen Sie dafür, dass ein resultierendes Drehmoment auf den Kreisel wirkt, der dadurch nicht mehr drehmomentenfrei lagert und in Präzession versetzt wird.
⏱ Frequenzmessungen nehmen Sie mit Hilfe von Photosensoren mit eingebauten Lichtquellen vor, die zur flexibleren Handhabe auf Schwanenhalshalterungen montiert sind.
Aus den durchgeführten Messungen können Sie auf geschickte Weise die Trägheitsmomente entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels experimentell bestimmen und schließlich auf die Masse des Rotors schließen.

📓 Was diesen Versuch ausmacht

Versuche mit Kreiseln sind seit jeher ein Herzstück jedes Praktikums der klassischen Physik. Ausgedehnte Körper umgeben uns überall, ihr Verhalten sollte uns hinreichend vertraut sein. Und dennoch sind ihre Bewegungen zuweilen kontraintuitiv und mitunter verrückt anmutend. Umso überzeugender erscheint der Erfolg der Mathematik, mit der es gelingt, die Dynamik und Kinematik starrer Körper in der Form skalarer, vektorieller und tensorieller Größen zu beschreiben und vorherzusagen. Die Physik des starren Körpers ist nicht einfach. Aber Sie ist ein Vorzeigestück der kanonischen Mechanik, gerade weil dort die Verbindung zwischen dem nicht-trivialen, mathematischen Kalkül und der realen, physikalischen Beobachtung so erfolgreich hergestellt werden kann. Hier lernen Sie mit dem Trägheitstensor, ihren ersten Tensor kennen, dessen physikalisches Zustandekommen Sie sich selbst noch einigermaßen leicht vergegenwärtigen können. Hier haben Sie die Möglichkeit mathematisch abstrakte Konzepte, wie Eigenwert, Eigenvektor oder Hauptachsentransformation, die Sie aus der linearen Algebra Vorlesung kennen mit physikalischem Leben zu füllen.

Die Physik des starren Körpers wirkt wie ein Triumph der Mathematik über die Wirkzusammenhänge der Natur. Im Verlauf Ihres Studiums stellt die Physik des starren Körpers die endgültige Befreiung von den Einschränkungen der Physik des Massenpunkts dar, die ihre Fortsetzung in der Beschreibung elastisch verformbarer Körper (H09 Elastizität) bis hin zu strömenden Fluiden (H10 Aeromechanik) findet, mit der Sie schließlich in den Gefilden der klassischen Feldtheorie anlangen. Die sich immer weiter entwickelnde Mathematik braucht aber immer Ihren Anker in der Realität, sie braucht das Experiment. Was diesen Versuch auszeichnet ist, dass sich hier doch mit einfachsten Mitteln die komplizierte Mathematik und das komplizierte Experiment zu einem Stelldichein begegnen.

Der Versuch Kreisel zählt gewiss zu den anspruchsvolleren Versuchen des P1. Die Physik von Trägheitstensor, Drehimpuls und Drehmoment stellt zu diesem Zeitpunkt des Studiums an sich schon eine intellektuelle Herausforderung dar. Das Messprogramm des Versuchs ist straff und erfordert, übersichtliches und gut organisiertes Vorgehen, um die Messziele zu erreichen. Die Frequenzmessungen am Kreisel sind nicht einfach und erfordern Ausdauer und Geschick. Dennoch, oder gerade deshalb, lohnt es sich, diese Herausforderungen anzunehmen. Genießen Sie diesen Versuch und seine Auswertung. Er mag etwas damit zu tun haben, warum Sie sich dazu entschieden haben Physik zu studieren. Der Versuch wird Ihnen umso leichter fallen, je besser vorbereitet und je organisierter Sie ihn angehen.

🚨 Wichtige Hinweise

Achtung

Rotierende Körper können sehr viel Energie aufnehmen, die man ihnen zunächst nicht ansieht. Lassen Sie daher im Umgang mit den Kreiseln besondere Vorsicht walten. Achten Sie z.B. auf das Risiko, dass sich lange Haare im Kreisel verfangen könnten.
Bei den Apparaturen handelt es sich z.T. um sehr teure Spezialanfertigungen zu pädagogischen Zwecken. Verwenden Sie zum Abbremsen der Kreisel die bereitliegenden Stofflappen und gehen Sie achtsam mit den Gerätschaften um.