🌐 Fadenpendel

➡️ Modell des Fadenpendels

Unter Vernachlässigung von Reibungseffekten und bei kleinen Auslenkungen \(\varphi_{0}\) wird die Schwingung des Fadenpendels durch die Differentialgleichung des physikalischen Pendels

\[ \begin{equation} \begin{split} &\Theta\ddot{\varphi}+\underbrace{m\,s\,g}\,\varphi=0\\ &\hphantom{\Theta\ddot{\varphi}\quad}\equiv D \\ &\\ &\varphi(t) = \varphi_{0}\sin(\omega_{o}\,t+\phi) \end{split} \label{DGL_Fadenpendel} \end{equation} \]

beschrieben, wobei \(\Theta\) dem Trägheitsmoment, \(g\) der Erdbeschleunigung, \(m\) der Masse und \(s\) dem Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt des Pendels entsprechen. \(D\) bezeichnet das Direktionsmoment.

Aus Gleichung \(\eqref{DGL_Fadenpendel}\) lassen sich die Kreisfrequenz \(\omega_{0}\) und Periodendauer \(T_{0}\) bestimmen:

\[ \begin{equation} \omega_{0} = \sqrt{\frac{D}{\Theta}}=\sqrt{\frac{m\,\ell\,g}{\Theta}};\qquad T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,\ell\,g}}. \label{Kreisfrequenz_Periodendauer} \end{equation} \]

Mit Hilfe des Satzes von Steiner lässt sich \(\Theta\) aus dem Trägheitsmoment einer homogenen Kugel abschätzen:

\[ \begin{equation} \Theta = m\,s^{2} + \frac{2}{5}\,m\,r^{2}, \label{Trägheitsmoment} \end{equation} \]

wobei \(r\) dem Radius der Kugel entspricht. Beachten Sie, dass \(s\) nicht die Länge des Fadens, sondern der Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt des Pendels ist. Wenn Sie die Masse des Fadens gegenüber der Masse der Kugel vernachlässigen, fällt der Schwerpunkt des Pendels mit dem Schwerpunkt der Kugel zusammen.

Einsetzen von Gleichung \(\eqref{Trägheitsmoment}\) in Gleichung \(\eqref{Kreisfrequenz_Periodendauer}\) führt zu einer Bestimmungsgleichung für \(g\):

\[ \begin{equation} \begin{split} g = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left(s +\frac{2}{5}\frac{r^{2}}{s}\right). \end{split} \end{equation} \]

Dabei ist

\[ \begin{equation} \delta g/g_{0}=\frac{2}{5}\frac{r^{2}}{s^{2}} \end{equation} \]

der relative Unterschied zur Bestimmung von \(g\) auf Grundlage des Modells eines mathematischen Pendels (\(g_{0}\)).

➡️ Abweichungen von der Kleinwinkelnäherung

Verlässt man die Kleinwinkelnäherung wird Gleichung \(\eqref{DGL_Fadenpendel}\) zu einer nicht-linearen Differentialgleichung der Form

\[ \begin{equation} \begin{split} &\Theta\ddot{\varphi}+\underbrace{m\,s\,g}\,\sin\varphi=0\\ &\hphantom{\Theta\ddot{\varphi}\quad}\equiv D \end{split} \end{equation}, \]

die zwar immer noch exakt lösbar, aber nicht mehr analytisch geschlossen darstellbar ist. Die Lösung erfordert die Verwendung elliptischer Funktionen. Die Periodendauer lässt sich in diesem Fall durch eine Reihenentwicklung annähern, deren erste Korrektur wie folgt aussieht:

\[ \begin{equation} T_{0}(\varphi_{0}) = T_{0}\left(1+\frac{1}{4}\sin^{2}\left(\varphi_{0}/2\right)\right). \end{equation} \]

Dabei ist

\[ \begin{equation} \delta T_{0}/T_{0} = \frac{1}{4}\sin^{2}(\varphi_{0}/4) \end{equation} \]

der relative Unterschied zur Bestimmung von \(T_{0}\) auf Grundlage der Kleinwinkelnäherung.

📌 Erwartung

Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:

Lernziele

• Sie können Gleichung \(\eqref{DGL_Fadenpendel}\) herleiten und lösen können.
• Sie verstehen das Zustandekommen von Gleichung \(\eqref{Trägheitsmoment}\).
• Sie kennen den Verlauf von \(T_{0}(\varphi_{0})\).

📝 Selbsttest

Fragen

1. Wie groß ist der Effekt der endlichen Ausdehnung der Kugel auf die Messung?
2. Für welchen maximalen Auslenkungswinkel ist der Effekt der Kleinwinkelnäherung kleiner als 1%, 10%?
3. Schätzen Sie aufgrund der Kleinwinkelnäherung \(T_{0}\) zu klein oder zu große ab?