Interferenz und Beugung am Einfach- und Doppelspalt

Eine schematische Darstellung zur Erklärung von Interferenz und Beugung am Doppel- und Einfachspalt ist in Abb. 1 gezeigt:

💡 Die hier gemachten Ausführungen gelten für ein ideales periodisches Gitter mit perfekter Transmission in und perfekter Extinktion zwischen den Spalten. Neben diesem gibt es noch eine ganze Reihe weiterer Gittertypen, z.B.:

Reflexionsgitter mit sowohl ebenen als geneigten Furchen. Letztere (die sogenannten Echelette-Gitter) liefern die Hauptintensität in der ersten statt der nullten Ordnung.
Bei sinusförmig schwankender Durchlässigkeit (sogenannten Sinusgittern) erhält man nur Maxima erster Ordnung. Solche Gitter lassen sich z.B. durch Photographie von Interferenzbildern erzeugen.
Phasengitter sind überall durchsichtig, aber ihr Brechungsindex ändert sich periodisch. Aufgrund der resultierenden Dichteunterschiede erhält man ein solches Gitter z.B. bei stehenden (Schall-)Wellen in Flüssigkeiten.
Schließlich seien neben den bisher genannten eindimensionalen noch zwei- und dreidimensionale Gitter erwähnt.

Interferenz am Doppelspalt

Zur Erklärung der Interferenz am Doppelspalt, wie in Abb. 1 (a) gezeigt, vernachlässigen wir zunächst die endliche Ausdehnung $b$ der Spalte (1) und (2), relativ zur Wellenlänge $\lambda$ des Lichts ($b\ll\lambda$) und interpretieren beide Spalte als Quellen zweier kohärenter Elementarwellen $\psi^{(j)},\ j=1,\ 2$ die sich zu einer Gesamtwelle

\[ \psi(\alpha) = \sum\limits_{j=1}^{2}\frac{\psi_{0}}{2}e^{i\Delta\phi}e^{i(\vec{k}\,\vec{x}-\omega\,t)} \]

mit der festen Phasenbeziehung $\Delta\phi$ zueinander am Punkt $(\vec{x},\,t)$ überlagern.

💡 Zu Gunsten einer übersichtlicheren Notation nehmen wir o.B.d.A. die folgenden Vereinfachungen vor:

Da wir uns nur für $\Delta\phi$ interessieren, ignorieren wir, in allen folgenden Gleichungen, die für diese Diskussion irrelevante Orts- und Zeitabhängigkeit $e^{i(\vec{k}\,\vec{x}-\omega\,t)}$, die für alle Wellen gleich sind.
Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems in der Mitte zwischen den Spalten. Zum Zeitpunkt $t=0$, an dem beide Elementarwellen durch den jeweiligen Spalt treten, startet somit $\psi^{(1)}$ bei $(x_{1},\,y_{1})=(0,\,g/2)$ und $\psi^{(2)}$ bei $(x_{2},\,y_{2})=(0,\,-g/2)$.

🔔 Für $\psi(\alpha)$ erhalten wir damit

\[ \begin{split} \psi(\alpha) &= \frac{\psi_{0}}{2}\left(e^{ik\,\frac{g}{2}\sin\alpha}+e^{-ik\,\frac{g}{2}\sin\alpha}\right) \\ &\\ &= \psi_{0}\cos\left(k\,\frac{g}{2}\sin\alpha\right). \\ \end{split} \tag{1} \]

🔔 Die Intensitätsverteilung hinter dem Doppelspalt ergibt sich aus dem Betragsquadrat der Amplitude.

Destruktive Interferenz der $\psi^{(j)}$ liegt unter der Bedingung

\[ \begin{split} &k\,\frac{g}{2}\,\sin\alpha = \frac{m-1}{2}\pi;\qquad m\in\mathbb{N} \\ &\\ &\text{mit}\\ &\\ &k=\frac{2\pi}{\lambda}\\ &\\ &g\,\sin\alpha = \frac{m-1}{2}\lambda \end{split} \]

vor. Zur Bestimmung positiver Interferenz, wie Sie sie während des Versuchs beobachten, können Sie das folgende Modell ansetzen:

\[ \sin\alpha = \frac{m}{g}\lambda+C, \tag{2} \]

wobei $C$ eine weitere freie Konstante des Modells ist.

Beugung am Einfachspalt

Im Fall der Beugung am Einfachspalt, wie in Abb. 1 (b) gezeigt, gehen wir zunächst von einer kohärenten Überlagerung $n$ diskreter Elementarwellen jeweils im Abstand $\Delta y$ entlang der endlichen Spaltbreite $b$ aus:

\[ \begin{split} &\psi(\alpha) = \sum\limits_{j=0}^{n}\underbrace{\frac{\psi_{0}}{n}\,e^{ikx'_{j}}} = \sum\limits_{j=0}^{n}\psi_{0}\,\frac{\Delta y}{b}\,e^{ikx'_{j}}\\ &\hphantom{cccccccccccci}\equiv\psi^{(j)}\\ &\\ &\text{mit}\\ &\\ &b=n\,\Delta y.\\ \end{split} \]

Im Grenzübergang $\Delta y\to0,\,n\to\infty$ geht diese Summe in das Integral

\[ \psi(\alpha) = \sum\limits_{j=0}^{n}\psi_{0}\,\frac{\Delta y}{b}\,e^{ikx'_{j}}\quad\longrightarrow\quad\int\limits_{-\frac{b}{2}}^{+\frac{b}{2}} \psi_{0}\,\frac{\mathrm{d}y}{b}\,e^{ikx'} \]

über. 💡 Hier liegt der Ursprung des Koordinatensystems in der Mitte des Spalts.

💡 Für die Phasenbeziehung $\Delta\phi_{j,i+1}$ zwischen zwei benachbarten Elementarwellen $\psi^{(j)}$ und $\psi^{(j+1)}$ ist deren Versatz entlang $x'$ in Ausbreitungsrichtung der Welle, wie in Abb. 1 (c) gezeigt, von Relevanz die Koordinatentransformation

\[ \begin{split} &x' = \sin\alpha\,y,\quad \mathrm{d}x' = \sin\alpha\,\mathrm{d}y;\\ &\\ &\mathrm{d}y= \frac{\mathrm{d}x'}{\sin\alpha};\\ &\\ &y_{\mathrm{min}} = -\frac{b}{2} \quad\longrightarrow\quad x'_{\mathrm{min}} = -\frac{b}{2}\,\sin\alpha;\\ &y_{\mathrm{max}} = -\frac{b}{2} \quad\longrightarrow\quad x'_{\mathrm{max}} = +\frac{b}{2}\,\sin\alpha;\\ \end{split} \]

führt auf die finale Gleichung zur Berechnung von $\psi(\alpha)$:

\[ \begin{split} \psi(\alpha) &= \int\limits_{-\frac{b}{2}\sin\alpha}^{+\frac{b}{2}\sin\alpha} \psi_{0}\frac{\mathrm{d}x'}{b\sin\alpha}\,e^{ikx'} = \left[\frac{\psi_{0}}{b\sin\alpha}\frac{e^{ikx'}}{ik} \right]_{-\frac{b}{2}\sin\alpha}^{+\frac{b}{2}\sin\alpha} \\ &\\ &= \frac{\psi_{0}}{\frac{b}{2}\sin\alpha} \left(\frac{e^{ik\,\frac{b}{2}\sin\alpha} - e^{-ik\,\frac{b}{2}\sin\alpha}}{2ik} \right) \\ &\\ &= \psi_{0}\cdot\underbrace{\frac{\sin(k\,\frac{b}{2}\sin\alpha)}{k\,\frac{b}{2}\sin\alpha}} = \psi_{0}\cdot\mathrm{si}\left(k\,\frac{b}{2}\sin\alpha\right)\\ &\hphantom{= \psi_{0}\cdot\psi cccc}\equiv f_{S} \end{split} \tag{3} \]

💡 Der Term $f_{S}$ in Gleichung (3) wird auch als Spaltfunktion oder Sinus cardinalis $\mathrm{si(\ \cdot\ )}$ bezeichnet. Die vermeintliche Singularität bei

\[ k\ \frac{b}{2}\sin\alpha=0 \]

ist hebbar, wie sich aus der Reihenentwicklung des Sinus leicht ersehen lässt.

💡 Bei $\mathrm{si}(\ \cdot\ )$ handelt es sich um die Fourier-Transformierte der skalierten Rechteckfunktion

\[ \mathrm{rect}(y) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b\sin\alpha} &-\frac{b}{2}\sin\alpha\leq y<\frac{b}{2}\sin\alpha\\ 0 & \text{sonst,}\end{array}\right. \]

die auch als Transmissionsfunktion bezeichnet wird. Die Nullstellen von $\mathrm{si}(\ \cdot\ )$ liegen bei

\[ \begin{split} &k\,\frac{b}{2}\sin\alpha = (m-1)\,\pi;\qquad m\in\mathbb{N} \\ &\\ &\text{mit}\\ &\\ &k=\frac{2\pi}{\lambda}\\ &\\ &b\sin\alpha = (m-1)\,\lambda. \end{split} \]

🔔 Im Gegensatz zur Interferenz am Doppelspalt liegen die Intensitätsminima im Fall der Beugung am Einfachspalt nicht bei ganzzahligen Vielfachen von $\lambda/2$ sondern bei ganzzahligen Vielfachen von $\lambda$. 🔔

Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite

Wir kehren noch einmal zur Interferenz am Doppelspalt zurück. Wenn dabei $b$ im Verhältnis zu $\lambda$ nicht mehr vernachlässigbar ist ($b\gtrsim\lambda$) verändert sich die Integration an den Spalten wie in Abb. 2 gezeigt:

**Abb. 2:** Integration der Elementarwellen für den Doppelspalt mit endlicher Breiter

\[ \begin{split} &\psi(\alpha) = \int\limits_{-(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha}^{+(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha} \psi'_{0}\frac{\mathrm{d}x'}{b\sin\alpha}\,e^{ikx'} = \int\limits_{-(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha}^{-\frac{g'}{2}\sin\alpha} \psi'_{0}\frac{\mathrm{d}x'}{b\sin\alpha}\,e^{ikx'} + \int\limits_{+\frac{g'}{2}\sin\alpha}^{+(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha} \psi'_{0}\frac{\mathrm{d}x'}{b\sin\alpha}\,e^{ikx'} \\ &\\ &\\ &\hphantom{\psi(\alpha)} = \left[\frac{\psi'_{0}}{b\sin\alpha}\frac{e^{ikx'}}{ik} \right]_{-(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha}^{-\frac{g'}{2}\sin\alpha} + \left[\frac{\psi'_{0}}{b\sin\alpha}\frac{e^{ikx'}}{ik} \right]_{+\frac{g'}{2}\sin\alpha}^{+(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha}\\ &\\ &\\ &\hphantom{\psi(\alpha)} = \frac{\psi'_{0}}{\frac{b}{2}\sin\alpha} \left(\underbrace{\left(\frac{e^{ik\,(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha} - e^{-ik\,(\frac{g'}{2}+b)\sin\alpha}}{2ik} \right)} - \underbrace{\left(\frac{e^{ik\,\frac{g'}{2}\sin\alpha} - e^{-ik\,\frac{g'}{2}\sin\alpha}}{2ik} \right)} \right)\\ &\hphantom{\psi(\alpha)} \hphantom{ccccccccccccc}\equiv \sin\left(k\frac{g'}{2}\sin\alpha + k\,b\,\sin\alpha\right) \hphantom{ccccccccc}\equiv \sin\left(k\frac{g'}{2}\sin\alpha\right) \\ &\\ &\\ &\hphantom{\psi(\alpha)}= \frac{\psi'_{0}}{\frac{b}{2}\sin\alpha} \left( \sin\left(k\frac{g'}{2}\sin\alpha + k\,b\,\sin\alpha\right) - \sin\left(k\frac{g'}{2}\sin\alpha\right)\right) \\ \end{split} \]

Unter Anwendung des Additionstheorems

\[ \begin{split} &\sin X-\sin Y = 2\,\cos\left(\frac{X+Y}{2}\right)\,\sin\left(\frac{X-Y}{2}\right)\\ &\\ &\text{mit}\\ &\\ &X\equiv k\frac{g'}{2}\sin\alpha + k\,b\,\sin\alpha;\quad Y\equiv k\frac{g'}{2}\sin\alpha\\ \end{split} \]

folgt daraus

\[ \begin{split} &\psi(\alpha)= 2\,\psi'_{0}\,\frac{\sin\left(k\frac{b}{2}\sin\alpha\right)}{\frac{b}{2}\sin\alpha} \,\cos\left(k\frac{g'+b}{2}\sin\alpha\right).\\ \end{split} \]

Mit den Definitionen

\[ \psi'_{0} = \frac{\psi_{0}}{2};\quad g=\frac{g'+b}{2}. \]

folgt daraus, die finale Form der Intensitätsverteilung mit der Amplitude $\psi_{0}$ für zwei Spalte (1) und (2) der endlichen Breite $b$ im Abstand $g$ (gemessen vom jeweiligen Mittelpunkt des Spalts):

\[ \begin{split} &\psi(\alpha) = \psi_{0}\cdot\underbrace{\frac{\sin(k\,\frac{b}{2}\sin\alpha)}{k\,\frac{b}{2}\sin\alpha}}\cdot\cos\left(k\,\frac{g}{2}\sin\alpha\right).\\ &\hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}\psi(\alpha)\psi}= f_{S}\\ \end{split} \tag{4} \]

🔔 Diese setzt sich aus dem Interferenzbild für zwei Spalte mit vernachlässigbarer Breite im Abstand $g$ (Gleichung (1)) mit dem Beugungsbild des Einfachspalts mit endlicher Breite $b$ (Gleichung (3)) als Einhüllender $f_{S}$ zusammen.

Vom Doppelspalt zum Gitter

Für $N$ (beleuchtete) Spalte nimmt $\psi(\alpha)$ die Form

\[ \begin{split} &\psi(\alpha) = \frac{\psi_{0}}{N}\cdot \underbrace{\frac{\sin(k\,\frac{b}{2}\sin\alpha)}{k\,\frac{b}{2}\sin\alpha}\vphantom{\frac{\sin(N\,k\,\frac{b}{2}\sin\alpha)}{k\,\frac{b}{2}\sin\alpha}}}\cdot \underbrace{\frac{\sin(N\,k\,\frac{g}{2}\sin\alpha)}{\sin(k\,\frac{g}{2}\sin\alpha)}}\\ &\hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}\psi(\alpha)\psi\psi}= f_{S} \hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}}\equiv f_{G}\\ \end{split} \tag{5} \]

an.

💡 Der Abstand der Gitterlinien $g$ wird dabei auch als Gitterkonstante und die Funktion $f_{G}$ als Gitterinterferenzfunktion bezeichnet.

💡 Die Wahl $N=1$ führt auf $f_{G}\equiv 1$ und somit auf Gleichung (3) zurück.

💡 Die Wahl $N=2$ führt, wie man unter Anwendung des Additionstheorems für die Sinusfunktion

\[ \begin{split} \sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x) \end{split} \]

ersehen kann, auf Gleichung (4) zurück.

Einige Beispiele für Intensitätsverteilungen hinter dem Gitter sind in Abb. 3 gezeigt:

Die gestrichelten Linien in Abb. 3 zeigen jeweils die Einhüllenden ($f_{S}$) zu Gleichung (5).

🔔 Reduziert man die Breite $b$ der Spalte ($b\,\downarrow$) vergrößert sich sich die Breite der Einhüllenden ($f_{S}\,\uparrow$).
Diesen Umstand können Sie erkennen, wenn Sie die Bilder in den Zeilen 4 bis 2 betrachten.
Die Abbildungen aus Reihe 2 geben ein Gefühl für den Übergang zum Gitter mit vernachlässigbar keinen Spaltbreiten.
🔔 Reduziert man den Abstand der Spalten $g$ im Gitter ($g\,\downarrow$) erhöht sich der Abstand zwischen den sich ausbildenden Maxima ($\uparrow$).
Dieser Umstand ist zu erkennen, wenn Sie die Bilder in den Zeilen 1 und 2 miteinander vergleichen.
🔔 Erhöht man die Anzahl $N$ der beleuchteten Spalte bleiben die Positionen der ursprünglichen Intensitätsmaxima gleich. Sie werden aber schmaler und es bilden sich $N-1$ Nebenminima und $N-2$ Nebenmaxima mit deutlich reduzierter Intensität neben den ursprünglichen Hauptmaxima aus.
Die Hauptmaxima bilden sich an Stellen mit

$$ \begin{split} &\sin(N\,k\,g/2\sin\alpha)=\sin(k\,g/2\sin\alpha)=0\ &\ &\alpha = \arcsin\left(\frac{m\,\lambda}{g}\right);\quad m\in\mathbb{N_{0}} \end{split}

$$

aus, wobei $m$ der Ordnung des Maximums entspricht.

Diesen Umstand können Sie erkennen, wenn Sie die Bilder in den Spalten 1 bis 3 betrachten.

Spektrales Auflösungsvermögen des Gitters

Das spektrale Auflösungsvermögen $R$ ist definiert als

\[ \begin{split} &R=\frac{\lambda}{\delta \lambda},\\ &\\ &\text{(O.b.d.A.) mit}\\ &\\ &\delta\lambda=\lambda'-\lambda;\qquad \lambda'>\lambda \end{split} \]

wobei $\delta\lambda$ der Wellenlängendifferenz entspricht, die bei der Wellenlänge $\lambda$ mit Hilfe des Gitters noch getrennt dargestellt werden kann.

🔔 Es ist praktikabel $\lambda$ und $\lambda'$ als aufgelöst zu bezeichnen, wenn das Hauptmaximum der Ordnung $m$ zu $\lambda'$ in das erste Minimum neben dem Hauptmaximum gleicher Ordnung zu $\lambda$ fällt, d.h.:

\[ \begin{split} &\text{Hauptmaximum der Ordnung }m \text{ f\"ur }\lambda\text{:}\\ &\\ &m\,\lambda;\quad m\in\mathbb{N}\\ &\\ &\text{Erstes Minimum daneben:}\\ &\\ &\lambda\left(m + \frac{1}{N}\right).\\ &\\ &\text{Hauptmaximum der Ordnung }m \text{ f\"ur }\lambda'\text{:}\\ &\\ &m\,\lambda'= m\,(\lambda+\delta\lambda).\\ \end{split} \]

Aus der zuvor formulierten Forderung folgt daraus:

\[ \begin{split} &\lambda\left(m + \frac{1}{N}\right) = m(\lambda+\delta\lambda);\\ &\\ &\frac{\lambda}{N} = m\,\delta\lambda;\\ &\\ &\frac{\lambda}{\delta\lambda} = m\,N.\\ \end{split} \tag{6} \]

🔔 Das spektrale Auflösungsvermögen nimmt also sowohl mit der betrachteten Ordnung $m$ des Hauptmaximums, als auch mit der Anzahl der beleuchteten Spalte $N$ linear zu. Es ist i.a. durch die Breite des Kohärenzspalts vor dem Gitter (siehe Hinweise zum Gitterspektrometer) begrenzt.

Erwartung

Was wir an dieser Stelle von Ihnen erwarten:

✅ Sie können die Bedingungen für Minima und Maxima für den Fall der Interferenz am Doppelspalt für Spalte mit vernachlässigbarer Breite, anhand von Abb. 1 (a), ableiten.
✅ Sie können die Bedingung für Minima bei der Beugung am Einfachspalt benennen.
✅ Sie können anhand von Abb. 1 (b) erklären, wie es zu dem Unterschied für die Bedingungen für Minima bei der Interferenz am Doppelspalt und für die Beugung am Einfachspalt kommt.
✅ Sie können den Übergang vom zwei zu $N$ Spalten endlicher Breite qualitativ beschreiben.

Testfragen

Der Einfachspalt ist ein Beispiel für das Vorkommen der Fouriertransformation in der Natur. Erklären Sie, wie dieses Phänomen zustande kommt.
Erklären Sie anhand von Abb. 3 den Übergang vom Doppelspalt zum Kristallgitter bei der Streuung von Röntgenlicht an Kristallen.
Sie reduzieren die Ausdehnung der Streuzentren. Wie ändert sich das Beugungsbild?
Sie erhöhen die Anzahl der beleuchteten Gitterpunkte. Wie ändert dich das Beugungsbild?
Sie möchten mit einem Gitterspektrometer die Natrium-D-Linie im Hauptmaximum erster Ordnung auflösen. Wie viele Gitterspalte müssen Sie beleuchten?