H09 Elastizität

🏃 Motivation

Das Studium der Elastizität erweitert das Modell des starren Körpers. Übt man auf einen ausgedehnten Körper eine äußere Kraft \(\vec{F}_{A}\) aus, verformt sich dieser. Kehrt er nach Ausübung der Kraft wieder in seine ursprüngliche Form zurück spricht man von einer elastischen Verformung.

Unserer mikroskopischen Modellvorstellung nach, gehen alle elastischen Verformungen daraus hervor, dass die atomaren Einheiten aus denen der Körper besteht sich in den lokalen Minima eines elektrischen Potentials befinden, aus denen sie durch \(\vec{F}_{A}\) ausgelenkt werden. Ist die Auslenkung klein, lassen sich diese Potentiale lokal durch harmonische Potentiale annähern und die Auslenkung führt auf atomarer Ebene jeweils zu einer rückstellenden Kraft \(-\vec{F}_{R}=\vec{F}_{A}\), die proportional zur Auslenkung ist. Die Anzahl der ausgelenkten atomaren Einheiten und damit die Kraft \(\vec{F}_{A}\), die man aufwenden muss, um die Verformung \(\Delta\vec{\ell}\) zu erreichen ist proportional zur Fläche \(\vec{A}=\vec{a}\times\vec{b}\), an die \(\vec{F}_{A}\) angreift. Im Gegenzug ist \(\Delta\vec{\ell}\) bei gleicher Kraft proportional zur Anzahl der atomaren Einheiten des Körpers entlang der Richtung von \(\vec{F}_{A}\) und damit proportional zur ursprünglichen Ausdehnung des Körpers \(\vec{\ell}\) in dieser Richtung. Daraus leitet sich die allgemeine Gesetzmäßigkeit

\[ \begin{equation*} \vec{F}_{A}\propto A\,\frac{\Delta \vec{\ell}}{\ell} \end{equation*} \]

für die Verformung elastischer Körper unter äußerer Krafteinwirkung \(\vec{F}_{A}\) ab. Die Proportionalität zu \(A\) motiviert die Einführung der mechanischen Spannung, als eine auf die Fläche \(A\) normierte Krafteinwirkung. Erfolgt die Verformung (anti-)parallel zu \(\vec{F}_{A}\) kommt es zur Stauchung (Dehnung) des Körpers. In diesen Fällen spricht man von der Druck- oder Zugspannung

\[ \begin{equation*} \sigma = E\,\frac{\Delta\ell}{\ell}. \end{equation*} \]

Die Proportionalitätskonstante \(E\) nennt man den Elastizitätsmodul. Erfolgt die Verformung senkrecht zu \(\vec{F}_{A}\) kommt es zur Scherung oder Torsion und man spricht von der Schub- oder Scherspannung

\[ \begin{equation*} \tau = G\,\frac{\Delta\ell}{\ell}=G\,\alpha. \end{equation*} \]

Die Proportionalitätskonstante \(G\) nennt man den Schub- oder Torsionsmodul. In Abb. 1 sind die Geometrien beider Fälle schematisch dargestellt:

Elastische Verformungen umgeben uns überall. Sie sind Ursache verschiedener Gegenkräfte und Schwingungsvorgänge und letztlich der Grund warum wir uns laufend fortbewegen können. Mit diesem Versuch haben Sie Gelegenheit sich diesem wichtigen Phänomen systematisch und quantitativ zu nähern.

🏁 Lernziele

Wir listen im Folgenden auf, was wir von Ihnen erwarten, nachdem Sie diesen Versuch erfolgreich absolviert haben:

Lernziele

Sie kennen die allgemeinen Gesetzmäßigkeiten elastischer Verformungen und können diese erklären.
Sie kennen und verstehen die Größen Normal-, Schub- und Scherspannung.
Sie kennen den Elastizitäts- und den Torsionsmodul.
Sie sind mit dem Modell zur Biegung belasteter, elastischer Stäbe vertraut.
Sie sind in der Lage Parameter, wie den Elastizitätsmodul aus der Anpassung komplexer physikalischer Modelle an die Daten zu bestimmen.

🚀 Weiterführendes Angebot

Falls Sie aus diesem Versuch noch mehr für sich mitnehmen möchten, als im Abschnitt Lernziele beschrieben, bietet er Ihnen Gelegenheit sich mit den folgenden Themen tiefer gehend zu beschäftigen:

Weiterführende Angebote

Die Arbeit mit Drehmomenten \(\vec{M}\) und Trägheitsmomenten \(\Theta\) bietet eine gute Gelegenheit Ihr Verständnis im Umgang mit ausgedehnten Körpern weiter zu vertiefen.
Die für diesen Versuch relevanten Spannungen lassen sich zum mechanischen Spannungstensor zusammenfassen.
Der Versuch bietet Gelegenheit Ihren Umgang mit statistischen Modellen weiter zu verfeinern. Sie können \(E\) konsistent, als den gleichen Parameter zweier verschiedener Modelle, für zwei grundsätzlich verschiedene Messungen bestimmen.

🔬 Versuchsaufbau

Für diesen Versuch bearbeiten Sie drei Aufgaben. Die Aufbauten für Ihre Versuche unterscheiden sich von Messplatz zu Messplatz, jedoch sind sie an jedem jeweiligen Messplatz ihrer Art nach gleich.

➡️ Gebogener Balken

Typische Aufbauten für Aufgabe 1 sind in Abb. 2 gezeigt:

🔔 Im Rahmen von Aufgabe 1 bestimmen Sie \(E\) durch die Biegung eines rechteckigen Balkens. Ein entsprechender Versuchsaufbau ist in Abb. 2 (a) zu sehen. Für Ihre Versuche stehen Ihnen dünne Balken aus vier verschiedenen Materialien zur Verfügung. Ein Balken wird jeweils an seinen Rändern auf zwei wohldefinierte Punkte aufgelegt und möglichst in der Mitte zwischen den Auflagepunkten durch das Anhängen von Gewichten beschwert. Die Gewichte sind in Abb. 2 (b) zu sehen. Der dort abgebildete schwarze Haken dient in diesem Fall zur Aufhängung. 🔔 Sie können die Biegung entweder mit Hilfe einer mechanischen Messuhr (Abb. 2 (c)), oder mit Hilfe eines mit Spiegeln abgelenkten Positionslasers bestimmen. Der Aufbau zur Messung mit dem Positionslaser ist in Abb. 2 (d) gezeigt. Der Laserstrahl kommt von oben rechts im Bild, trifft auf einen Spiegel nahe dem linken Auflagepunkt des Balkens, wird auf einen Spiegel nahe dem rechten Auflagepunkt des Balkens reflektiert und von dort auf einen Schirm an der Wand gelenkt. Der Laser ist in Abb. 2 (e)) gezeigt. 🔔 Der Laser ist von der Klasse eines Laserpointers und für Ihre Augen nicht gefährlich. Sie sollten es dennoch vermeiden ungeschützt direkt in den Strahl zu sehen. Abb. 2 (f) zeigt einen der Spiegel, der auf ein Ende eines Aluminium-Balkens montiert ist. In Abb. 2 (g) ist ein Laserentfernungsmesser zur Ausmessung des Strahlengangs gezeigt.

➡️ Elastizität und Schall

In Abb. 3 sind typische Aufbauten für die Aufgaben 2 und 3 gezeigt:

🔔 Im Rahmen von Aufgabe 2 bestimmen Sie \(E\) aus einer Messung der Schallgeschwindigkeit in Probestäben der gleichen Materialien, wie für Aufgabe 1. Die Wahl der gleichen Materialien gibt Ihnen die Möglichkeit Ihre Ergebnisse mit denen aus Aufgabe 1 zu vergleichen. Der experimentelle Aufbau hierzu ist in Abb. 3 (a) gezeigt. Die Stäbe liegen auf einer Holzhalterung auf. Am vorderen Ende im Bild werden Sie für jede Messung jeweils mit Hilfe einer schwingenden Stahlkugel (einmal) angestoßen. Das Signal des Stoßes breitet sich im Stab aus und wird am jenseitigen Ende teilweise in ein elektrisches Spannungssignal umgewandelt und teilweise reflektiert. 🔔 Die Umwandlung des Signals erfolgt mit Hilfe des piezoelektrischen Effekts, den Sie im P2-Versuch H16 Eigenschaften elektrischer Bauelemente näher untersuchen werden. Die hierzu verwendeten Piezoelemente sind in den weißen Plastikkästchen in Abb. 3 (b) fest mit den jeweiligen Stabenden verklebt. Eines der Kästchen ist im Bild mit einem Lemo Kabel mit dem Oszilloskop verbunden, mit dem Sie die Signale aufnehmen. Sie können die Laufzeit des Signals nach (mehrfacher) Reflexion an den Stabenden am Oszilloskop bestimmen.

➡️ Torsionsmodul

🔔 Im Rahmen von Aufgabe 3 bestimmen Sie \(G\) für ein ausgewähltes Material, indem Sie die Periodendauern einer Torsionsschwingung für Probestäbe verschiedener Durchmesser bestimmen. Der obere Montageteil der senkrechten Aufhängung hierzu ist in Abb. 3 (c) zu sehen. Die ausgewählten Stäbe werden in ein entsprechendes Futteral eingeschraubt. Abb. 3 (d) zeigt den unteren Teil der Aufhängung, der mit einer Aluminiumplatte mit Aussparungen für bis zu vier Zylindergewichte versehen ist. 🔔 Mit Hilfe dieser Konstruktion ist es möglich die Messung, selbst ohne nähere Kenntnis des Trägheitsmoments der gesamten Aufhängung, durchzuführen. Die Ihnen für diese Aufgabe zur Verfügung stehenden Stäbe sind in Abb. 3 (e) gezeigt.

📓 Was diesen Versuch ausmacht

Dieser Versuch bietet Ihnen die Möglichkeit Ihr Wissen über die Mechanik, über die Physik des Massenpunkts und des starren Körpers hinaus, um die Physik elastisch verformbarer Körper zu erweitern.

Das physikalische Modell zur Beschreibung der Biegung eines Balkens ist bemerkenswert komplex und erfordert bei allen Vereinfachungen des experimentellen Aufbaus viel mathematische Technik. Dass die Mathematik dennoch zu Modellen führt, die mit dem Experiment zu vergleichen sind und(!) die Vorgänge in der Natur tatsächlich beschreiben können ist ein äußerst bemerkenswerter Umstand. Achten Sie daher ruhig auf den \(\chi^{2}\)-Wert Ihrer Modellanpassungen. Sie können Aufgabe 1 auf zwei verschiedene Arten durchführen. Aufgabe 2 bietet Ihnen die Möglichkeit sich erneut mit dem Oszilloskop, als einem universellem Messgerät, vertraut zu machen. Mit den Aufgaben 1 und 2 bestimmen Sie die gleiche physikalische Größe aus zwei vollkommen unterschiedlichen Modellansätzen. Die Frage ob und wie Ihre Ergebnisse übereinstimmen gründet daher tiefer als es zunächst anmuten mag. Schließlich ist bei Aufgabe 3 Fingerspitzengefühl beim Einrichten der Torsionsschwingung gefragt. Der Einsatz der Zylindergewichte (eine Vorgehensweise, die den angewandten experimentellen Techniken beim P1-Versuch Kreisel nicht unähnlich ist) gibt darüber hinaus ein gutes Beispiel für intelligente, experimentelle Technik.

🚨 Wichtige Hinweise

Achtung

Die bei Aufgabe 2 verwendeten Detektoren für die Auslese der Schallsignale mit dem Oszilloskop sind sehr empfindlich gegen Bruch! Lassen Sie, zum Schutz der Apparaturen, die Metallkugel für die Erzeugung des einmaligen Stoßes aus nicht mehr als \(8\ \mathrm{cm}\) Entfernung vom Ende des Stabs fallen.
Sie benötigen für die Auswertung des Versuchs ggf. auch einige geometrische Abmessungen. Achten Sie nach Abschluss des Versuchs darauf, dass Sie alle Daten zur vollständigen Auswertung Ihrer Versuche dokumentiert haben, damit Sie nicht nochmal zum Nachmessen kommen müssen.