Wheatstonesche Brücke

Aufgabe

1. Es sind drei unbekannte Widerstände mit der Brückenschaltung nach Wheatstone möglichst genau zu bestimmen.
2. An den drei folgenden Schaltungen obiger Widerstände ist die Gültigkeit der Gesetze über die Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen nachzuprüfen.

Achtung

Die Konstant-Spannung ist auf \(U = 3\,\mathrm{V}\) einzustellen, da sonst das Potentiometer zerstört wird!

Grundlagen

Der Widerstand R eines Leiters ist definiert als Verhältnis der Spannung U zur Stromstärke I

\[ \begin{equation} R = \frac{U}{I} \qquad \left[\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\right] \end{equation} \]

Schaltet man Widerstände in Reihe, so ist der Gesamtwiderstand \(R'\) gleich der Summe der Teilwiderstände:

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Abb. 1: Abb. 1a: Reihenschaltung.

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\[ \begin{equation} R' = R_1 + R_2 \end{equation} \]

Bei Parallelschaltung addieren sich die reziproken Widerstände (Leitwerte) zum reziproken Gesamtwiderstand:

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Abb. 2: Abb. 1b: Parallelschaltung.

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\[ \begin{equation} \frac{1}{R'} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \end{equation} \]

Zur Bestimmung von Widerständen lässt sich die WHEATSTONEsche Brückenschaltung (Abb. 2) heranziehen. Der Strom verteilt sich auf die beiden Zweige ACB und ADB. Zwischen C und D ist die Brücke mit einem empfindlichen Nullinstrument geschaltet. Ist die Brücke bei geschlossenen Schaltern stromlos, so liegt an C und D das gleiche Potential und folglich ist dann

\[ U_{AC} = U_{AD} \qquad \text{und} \qquad U_{CB} = U_{DB} \]

Durch den Zweig ACB fließe der Strom \(I_1\). Dann gilt für die verschiedenen Teile des Kreises nach Gleichung (1)

\[ U_{AC} = R_x I_1 \qquad U_{CB} = R_0 I_1 \]

\[ U_{AD} = R_a I_2 \qquad U_{DB} = R_b I_2 \]

und daraus folgt wegen (4)

\[ \begin{equation} R_x : R_0 = R_a : R_b \end{equation} \]

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Abb. 3: Abb. 2: Wheatstonesche Brückenschaltung.

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Durch geeignete Wahl der Widerstandsverhältnisse \(\frac{R_a}{R_b}\) lässt sich immer die Stromlosigkeit der Brücke erzielen. Ist \(R_0\) und das Verhältnis \(\frac{R_a}{R_b}\) bekannt, so lässt sich \(R_x\) berechnen.

Im Versuch werden die Widerstände \(R_a\) und \(R_b\) durch ein Drahtpotentiometer P realisiert. Ein Schleifkontakt S unterteilt den Draht in die Abschnitte a und b. In einem homogenen Draht verhalten sich die Teilwiderstände wie die entsprechenden Drahtlängen, d.h. \(R_a : R_b = a : b\).

Bei stromloser Brücke gilt dann:

\[ \begin{equation} R_x = R_0 \frac{a}{b} \end{equation} \]

Messmethoden, bei denen wie im vorliegenden Fall die zu bestimmende Größe dadurch ermittelt wird, dass sie selbst (oder eine Hilfsgröße) im Augenblick der Messung verschwindet, heißen "Nullmethoden".

Frage

Welchen Vorteil bietet diese Methode?

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Abb. 4: Schaltung

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Durchführung

Die Schaltung ist gemäß Abb. 2 zusammenzustellen. Das Nullinstrument wird zunächst über einen Vorwiderstand im Tasterkästchen geschützt, (Grobabgleich: nur Taste "GROB" drücken). Sobald man die Stelle des Brückenabgleichs ungefähr ermittelt hat, (Zeigerausschlag ≤ 1 Skalenteil) wird die volle Empfindlichkeit des Instruments ausgenutzt (Feinabgleich: beide Tasten gleichzeitig drücken). Es empfiehlt sich, zuerst die ungefähre Größe von \(R_x\) bei beliebigem \(R_0\) zu bestimmen. Zur genauen Ermittlung von \(R_x\) wählt man danach \(R_0\) so, dass der Abgleichpunkt auf dem Potentiometer möglichst nahe der Mitte liegt (warum?).

Das in dem Versuch angewandte Verfahren ist mit der aus einer Strom-Spannungsmessung sich ergebenden Widerstandsbestimmung zu vergleichen.