Innere Reibung von Flüssigkeiten

Die Viskosität \(\eta\) (Zähigkeit) (a) eines Öles ist nach der Kugelfallmethode, (b) einer Flüssigkeit ist mit dem OSTWALDTschen Viskosimeter zu bestimmen.

Achtung

Nicht am Hahn des Ölgefäßes drehen. Gebrauchte Flüssigkeiten nicht in die Flasche zurückgießen!

Motivation

**Abb. 1:** Darstellung des Flüssigkeitsmodells zur Definition der Viskosität.

Die Viskosität \(\eta\) lässt sich nach dem in Abb. 1 dargestellten Flüssigkeitsmodell folgendermaßen definieren: Wirkt die Kraft \(F\) längs dem Rande \(b\) der Flüssigkeitsschicht \(A = a \cdot b\), so bewegt sich die Schicht in Kraftrichtung und die benachbarten Parallelschichten werden infolge der zwischenmolekularen Anziehungskräfte mitgezogen. Das Verhältnis der sogenannten Schubspannung \(\tau = F/A\) und dem Geschwindigkeitsgefälle \(dv/dr\) ist für hinreichend kleine Geschwindigkeiten \(v\) eine von der Temperatur abhängige Flüssigkeitskonstante, die Viskosität \(\eta\) genannt wird:

\[ \eta = \frac{\tau}{dv/dr} = \frac{F}{A}\frac{dr}{dv} \]

\[ \begin{equation} [\eta] = \mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}}, \qquad \mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}} = \mathrm{Pa \cdot s} \end{equation} \]

Die Größe \(\eta/\rho\) heißt kinematische Viskosität. (\(\rho\) = Dichte der Flüssigkeit)

Kugelfallmethode

Auf eine in einer Flüssigkeit fallenden Kugel wirken drei Kräfte , wie in Abb. 2 gezeigt: Die Schwerkraft \(G\), der Auftrieb \(F_A\) und die Reibungskraft \(F_R\).

**Abb. 2:** Auf eine in einer Flüssigkeit fallende Kugel wirkende Kräfte.

\[ \begin{equation} G = \frac{4}{3}\pi r^3 g \rho_K \end{equation} \]

\[ \begin{equation} F_A = \frac{4}{3}\pi r^3 g \rho_F \end{equation} \]

\(\rho_K\) = Dichte der Kugel
\(\rho_F\) = Dichte der Flüssigkeit
\(r\) = Kugelradius
\(g\) = Erdbeschleunigung.

Bewegt sich die Kugel in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit, so verhält sich die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit \(v\) und proportional zur Viskosität \(\eta\) der betreffenden Flüssigkeit:

\[ \begin{equation} F_R = A \cdot v \cdot \eta \end{equation} \]

Der Faktor \(A\) beträgt nach dem STOKEschen Gesetz \(6\cdot\pi\cdot r\). Da \(F_R\) mit \(v\) anwächst, wird die anfangs beschleunigte Fallbewegung der Kugel in eine gleichförmige Sinkbewegung übergehen, sobald

\[ \begin{equation} F_R = G - F_A \end{equation} \]

Daraus folgt als Bestimmungsgleichung der Viskosität:

\[ \begin{equation} \eta = \frac{2}{9}\frac{r^2}{v}g(\rho_K-\rho_F) \end{equation} \]

OSTWALDTsches Viskosimeter

Fließt eine Flüssigkeit durch eine Kapillare mit dem inneren Radius \(r\) und der Länge \(l\), so beträgt das in der Zeit \(t\) ausgeflossene Flüssigkeitsvolumen \(V\) nach dem Gesetz von HAGEN und POISEUILLE:

\[ \begin{equation} V = \frac{\pi r^4 \Delta p \, t}{8\eta l} \end{equation} \]

\(\Delta p\) ist die an den Enden der Kapillare herrschende Druckdifferenz, die bei vertikaler Anordnung

\[ \begin{equation} \Delta p = \rho \cdot g \cdot h \end{equation} \]

beträgt. (\(\rho\) = Dichte der Flüssigkeit, \(h\) = Flüssigkeitshöhe, \(g\) = Erdbeschleunigung)

Kugelfallmethode

Die Geschwindigkeit \(v\) wird aus der Fallzeit der Kugeln zwischen zwei möglichst weit voneinander entfernten Marken bestimmt. Erst nach etwa 10 cm Fallstrecke wird die Fallbewegung gleichförmig! Jede Messung ist etwa fünfmal durchzuführen, um einen brauchbaren Mittelwert berechnen zu können.

Für die Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung der Fallzeit können sie folgenden Rechner verwenden:

Angaben

Dichte der Kugeln:

\[ \rho_K = 7{,}72\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]

Radius der Kugeln:

\[ r = 1\,\mathrm{mm} \]

Erdbeschleunigung:

\[ g = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}} \]

Dichte der Flüssigkeit:

\[ \rho_F = 1{,}0207\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]

OSTWALDTsches Viskosimeter

Das OSTWALDsche Viskosimeter wird zur Viskositätsbestimmung einer Flüssigkeit mit geringer Zähigkeit verwendet. Man misst die Zeit \(t\), in der ein bestimmtes Flüssigkeitsvolumen \(V\) durch eine Kapillare fließt. Aus Gleichung (7) und (8) folgt:

\[ \begin{equation} \eta = C \cdot t \end{equation} \]

\[ \begin{equation} C = \frac{8lV}{\pi r^4 \rho g h} \end{equation} \]

Zunächst wird die Apparatekonstante

\[ \begin{equation} C = \frac{8lV}{\pi r^4 \rho g h} \end{equation} \]

mit einer Flüssigkeit bekannter Viskosität \(\eta\) und bekannter Dichte \(\rho\) (Wasser) gemäß (9) ermittelt. Danach lässt sich (9) als Bestimmungsgleichung für \(\eta\) verwenden.

Der Apparat ist mit der zu untersuchenden Flüssigkeit auszuspülen und am Stativ zu befestigen. Es werden genau 2 ml Flüssigkeit eingefüllt. Dann wird mit dem Handgebläse die eingefüllte Flüssigkeit über die Marke M1 gepumpt. Das Gebläse ist daraufhin zu entfernen und die Zeit \(t\), in der die Flüssigkeit von M1 auf M2 absinkt, zu bestimmen.

Angaben

Dichte der Flüssigkeit

\[ \rho_F = 0{,}78\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]

\[ \eta = f(t) \text{ für H2O (siehe Diagramm)} \]

Bemerkungen

Die Viskosität ist im allgemeinen stark temperaturabhängig. Deshalb muss zu einer Viskositätsangabe stets die Temperatur hinzugefügt werden, bei der die Viskositätsbestimmung durchgeführt worden ist.