Torsionsmodul

Aufgabe

Es ist der Torsionsmodul G von zwei Werkstoffen aus Drehschwingungen zu bestimmen (Angabe in \(\mathrm{N/mm^2}\)), ebenso das Trägheitsmoment \(J_S\) der Drehscheibe um ihre Achse (Angabe in \(\mathrm{kg\,m^2}\)).

Grundlagen

An der Oberfläche A eines Würfels greife parallel zu seiner festgehaltenen Grundfläche eine Kraft F, die Schub- oder Scherkraft, an. Sie verformt den Körper in der Weise, dass die senkrecht zur Kraftrichtung stehende Fläche um den "Scherungswinkel" gedreht wird. (Abb. 1).

Für kleine Auslenkungen gilt das HOOKsche Gesetz:

\[ \begin{equation} \frac{F}{A} = G \cdot \varphi \end{equation} \]

G ist eine Materialkonstante und heißt Scherungs- oder Torsionsmodul, da er besonders bei Verdrillungen auftritt. Er ist ein Maß für die Form-Elastizität des Materials. Beim Verdrillen eines Drahtes um seine Achse beispielsweise wird das Material auf Scherung beansprucht. Abb. 2 zeigt ein Volumenelement des Drahtes unter dem Einfluss der Scherbeanspruchung.

**Abb. 1:** Abb. 1: Scherung eines Würfels.

**Abb. 2:** Abb. 2: Volumenelement des Drahtes unter Scherbeanspruchung.

Beim Verdrillen um den Winkel \(\varphi\) tritt ein diesem Winkel proportionales, rücktreibendes Drehmoment M vom Betrag

\[ M = \frac{\pi R^4}{2l} G \, \varphi \]

auf. R ist dabei der Radius, l die Länge des Drahtes. Da M sich proportional zu \(\varphi\) verhält, ist somit die Voraussetzung für Drehschwingungen gegeben, wobei das Richtmoment

\[ \begin{equation} D = \frac{\pi R^4}{2l} G \end{equation} \]

beträgt. Ist J das Trägheitsmoment der Anordnung, so beträgt die Schwingungsdauer T

\[ \begin{equation} T = 2\pi \sqrt{\frac{J}{D}} \end{equation} \]

Durchführung

Die am Torsionsdraht befestigte Drehscheibe wird in Drehschwingungen versetzt. Die Amplitude soll nur etwa 10° betragen. Nun wird mindestens zweimal die Zeit für 50 Schwingungen ohne die vier Zusatzscheiben gemessen, dann ebenso mit den vier Zusatzscheiben. Außerdem sind die erforderlichen Längenmessungen durchzuführen. R ist mit dem Schraubenmikrometer besonders sorgfältig an mehreren Stellen des Drahtes zu messen und dann zu mitteln.

Hinweis

(Als Zahlenbeispiel: Ein R von \(\Delta R = 0{,}05\,\mathrm{mm}\) ergibt bei \(R = 2\,\mathrm{mm}\) ein \(\Delta G/G\) von 10%).

Auswertung

Ohne Zusatzscheiben schwingt die Drehscheibe mit dem Trägheitsmoment \(J_S\). Die aufgelegten Zusatzscheiben vergrößern das Trägheitsmoment auf \(J_S + J_Z\). Entsprechend werden nach Gl. (2) die beiden Schwingungsdauern

\[ T_S = 2\pi \sqrt{\frac{J_S}{D}} \qquad \text{und} \qquad T_{S+Z} = 2\pi \sqrt{\frac{J_S + J_Z}{D}} \]

gemessen. Das Richtmoment D ist in beiden Fällen dasselbe und durch Gl. (1) gegeben. Die Gleichungen (3) können als zwei Gleichungen für die Unbekannten \(J_S\) und D aufgefasst werden. \(J_Z\) lässt sich mit dem STEINERschen Satz berechnen zu

\[ \begin{equation} J_Z = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} m a^2 + m b^2 \right) \end{equation} \]

Dabei ist a der Radius der Zusatzscheiben, b ist ihr Abstand von der Drehachse. Die Auflösung der Gleichungen (3) ergibt:

\[ \begin{equation} J_S = \frac{T_S^2}{T_{S+Z}^2 - T_S^2} J_Z \end{equation} \]

und

\[ \begin{equation} D = \frac{4\pi^2 J_Z}{T_{S+Z}^2 - T_S^2} \end{equation} \]

Aus D kann schließlich G nach Gleichung (1) berechnet werden.

Angaben

Die Masse der Zusatzscheiben beträgt je 1783 g.