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Oberflächenspannung

Motivation

Das Ziel dieses Versuches ist es, über zwei verschiedene Methoden die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit zu bestimmen. Dazu untersuchen Sie die Oberflächenspannung von Wasser mit der Steighöhenmethode und die Oberflächenspannung einer Spülmittel-Lösung mit der Ring-Methode.

Im Zuge dieses Versuches lernen Sie den Umgang mit Unsicherheiten auf Messwerten und die Fehlerfortpflanzung kennen und wenden dieses Prinzip auf ihre Messdaten an. Hier geht es nicht darum, möglichst präzise Messwerte zu erhalten, sondern die Genauigkeit ihrer Messwerte zu beurteilen und im Protokoll zu dokumentieren.

Einleitung

In einer Flüssigkeit können sich die Moleküle innerhalb des Flüssigkeitsvolumens frei bewegen. Dabei wirken zwischen den Molekülen Anziehungskräfte, die als Kohäsionskräfte bezeichnet werden. Dazu zählen zum Großteil elektrostatische Kräfte, die zwischen den Molekülen wirken, wie z. B.:

An der Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und einem andern Medium (z.B. Luft) sind die Moleküle an der Oberfläche jedoch nicht von allen Seiten von anderen Molekülen umgeben, wie in Abb. 1 dargestellt wird. Sie erfahren daher eine Anziehungskraft in Richtung des Flüssigkeitsinneren. Diese Kräfte führen dazu, dass die Oberfläche der Flüssigkeit bestrebt ist, ihre Fläche zu minimieren, was als Oberflächenspannung bezeichnet wird.

Abb. 1: Darstellung der Oberflächenspannung am Beispiel von Wasser. Ein Molekül innerhalb der Flüssigkeit erfährt Kräfte in alle Raumrichtungen, während ein Molekül an der Oberfläche nur Kräfte ins Innere der Flüssigkeit erhalten.

Ein Molekül, welches sich in Anwesenheit der Kraft auf der Oberfläche befindet, hat eine höhere potentielle Energie als ein Molekül, das sich im Inneren der Flüssigkeit befindet. Eine Vergrößerung der Oberfläche der Flüssigkeit erfordert daher Arbeit sowie das Aufwenden von Energie. Die spezifische Oberflächenenergie \(\epsilon\) ist definiert als die Arbeit \(\Delta{}E\), die erforderlich ist, um die Oberfläche einer Flüssigkeit um eine bestimmte Fläche \(\Delta{}A\) zu vergrößern.

\[ \begin{equation} \begin{aligned} \epsilon = \frac{\dd{}E}{\dd{}A} & & \left[\frac{\text{J}}{m^2}\right] \end{aligned} \end{equation} \]

Sie wird in der Einheit N/m (Newton pro Meter) angegeben.

Ring-Methode

Wird ein Ring, welcher sich in einer Flüssigkeit befindet, langsam herausgezogen, ist eine Flüssigkeitslamelle an der Grenzfläche zwischen Ring und Flüssigkeit zu beobachten, wie in Abb. 2 zu sehen ist. Diese Lamelle wird durch die Oberflächenspannung zusammengehalten und übt eine Kraft aus, mit der der Ring nach unten gezogen wird. Beim Herausziehen eines runden Rings mit dem Umfang \(U\) um eine bestimmte Strecke \(\Delta{}x\) findet eine Oberflächenvergrößerung von \(\Delta{}A = 2 \cdot U \cdot \Delta{}x\) statt. Der Faktor 2 berücksichtigt dabei, dass die Lamelle sowohl an der Innen- als auch an der Außenseite des Rings anliegt. Aus der Energie \(\Delta{}E = F \cdot \Delta{}x\), die zur Vergrößerung der Oberfläche aufgebracht werden muss, folgt die Oberflächenspannung \(\sigma\):

\[ \begin{equation} \label{equ-oberflaechenspannung-ring-methode} \begin{aligned} \frac{\dd{}E}{\dd{}A} = \frac{F \cdot \Delta{}x}{2 \cdot U \cdot \Delta{}x} = \frac{F}{2 \cdot U} = \sigma & & \left[\frac{\text{N}}{m}\right] \end{aligned} \end{equation} \]

Abb. 2: Beim herausziehen des Rings bildet sich eine Flüssigkeitslamelle an der Innen- und Außenseite. Für die dadurch entstehende Oberflächenvergrößerung \(\Delta{}A\) muss die Energie \(\Delta{}E = F \cdot \Delta{}x\) aufgebracht werden.

Die auftretende Kraft \(F\) ist also unabhängig von der Strecke \(\Delta{}x\), die der Ring herausgezogen wird und wird mit einem Torsionskraftmesser gemessen. Die Oberflächenspannung \(\sigma\) kann dann mit Gleichung \(\eqref{equ-oberflaechenspannung-ring-methode}\) bestimmt werden. Dazu wird die maximale Kraft \(\text{F}_\text{max}\) gemessen, die anliegt, wenn die Flüssigkeitslamelle abreißt.

Aufgabe

  1. Rühren Sie sie Spülmittel-Lösung (10ml Spülmittel + 50ml Wasser) an und stellen Sie das Becherglas auf die Hebebühne.
  2. Hängen Sie den Ring an den Torsionskraftmesser, sodass dieser in der Flüssigkeit hängt. Stellen Sie die Vorspannung des Torsionskraftmessers ein, sodass der Zeiger auf Null steht.
  3. Senken Sie die Hebebühne langsam ab und justieren Sie dabei die Spannung des Torsionskraftmessers, sodass der Ring seine Höhe nicht verändert. Hören Sie mit der Nachjustierung auf, sobald die Flüssigkeitslamelle abreißt und notieren Sie die Kraft \(\text{F}_\text{max}\), die der Torsionskraftmesser zu diesem Zeitpunkt anzeigt.
  4. Führen Sie den vorherigen Schritt insgesamt 5 Mal durch, um 5 Messwerte für die Kraft \(\text{F}_\text{max}\) zu erhalten. Berechnen Sie anschließend den Mittelwert \(\left\lt{}\text{F}_\text{max}\right\gt{}\) und die Standardabweichung \(\sigma_{\text{F}_\text{max}}\) der Messwerte.

Auswertung

Zur Bestimmung der Oberflächenspannung \(\sigma\) der Spülmittel-Lösung wird die Gleichung \(\eqref{equ-oberflaechenspannung-ring-methode}\) verwendet. Der Umfang des Rings beträgt \(U = 6,1\,\text{cm}\). Bestimmen Sie aus ihren 5 Messwerten den Mittelwert \(\left\lt{}\text{F}_\text{max}\right\gt{}\) und die Standardabweichung \(\sigma_{\text{F}_\text{max}}\) als Größe für den statistischer Fehler dieser Messreihe. Dazu können Sie die Werte in den folgenden Rechner eingeben:

Der systematische Fehler des Torsionskraftmessers beträgt \(\Delta_{\text{F}_\text{max}} = \pm 0,05\,\text{mN}\). Den statistischen und systematischen Fehler für die Oberflächenspannung \(\sigma\) können Sie mit der Fehlerfortpflanzung bestimmen. Damit können Sie aus der Unsicherheit der Kraft \(\text{F}_\text{max}\) die Unsicherheit der Oberflächenspannung \(\sigma\) bestimmen. Als Beispiel können Sie sehen, wie die Unsicherheit \(\Delta_\sigma\) berechnet wird, \(\sigma_\sigma\) wird analog berechnet:

\[ \begin{equation} \Delta_\sigma = \sqrt{\left(\frac{\partial \sigma}{\partial \text{F}} \cdot \Delta_{\text{F}}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{\Delta_\text{F}}{2 \cdot U}\right)^2} = \left\vert \frac{\Delta_\text{F}}{2 \cdot U}\right\vert \end{equation} \]

Hinweis

Das Ergebnis mitsamt der Fehlerrechnung wird in der Form

\[ \sigma = \left\lt{}\sigma\right\gt{} \pm \sigma_\sigma \pm \Delta_\sigma \]

angegeben. Die statistische und die systematische Unsicherheit werden dabei durchgehend getrennt gehandhabt und nicht zu einer Gesamtunsicherheit zusammengefasst.

Steighöhenmethode

Beim Eintauchen einer dünnen Kapillare in eine Flüssigkeit steigt die Flüssigkeit in der Kapillare durch die Oberflächenspannung auf, weil die Adhäsionskraft (Kräfte zwischen Flüssigkeit und Kapillare) größer ist als die Kohäsionskraft (Kräfte innerhalb der Flüssigkeit). Die Flüssigkeit erreicht eine maximale Höhe \(h\) in der Kapillare, wenn die die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule der aufsteigenden Kraft entgegen wirkt und sich beide Kräfte im Gleichgewicht befinden. Das Gewicht der Flüssigkeitssäule (mit der Dichte \(\rho\)) beträgt:

\[ \begin{equation} \label{equ-gewichtskraft} G = g \cdot \rho \cdot V \cdot h = g \cdot \rho \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\,. \end{equation} \]

Die an der Kapillare wirkende Kraft \(F\) wird durch die Oberflächenspannung hervorgerufen und beträgt:

\[ \begin{equation} \label{equ-aufsteigende-kraft} F = \sigma \cdot U = \sigma \cdot 2 \cdot \pi \cdot r\,. \end{equation} \]

In Abb. 3 ist die Steighöhenmethode schematisch dargestellt.

Abb. 3: Schematische Darstellung der Steighöhenmethode. Die Flüssigkeit steigt in der Kapillare auf, bis die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule der aufsteigenden Kraft entgegen wirkt.

Im Kräftegleichgewicht lassen sich die Gleichungen \(\eqref{equ-gewichtskraft}\) und \(\eqref{equ-aufsteigende-kraft}\) gleichsetzen, sodass sich die Oberflächenspannung \(\sigma\) der Flüssigkeit wie folgt berechnen lässt:

\[ \begin{equation} \label{equ-oberflaechenspannung-steighoehenmethode} \sigma = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \rho \cdot r \cdot h\,. \end{equation} \]

Aufgabe

  1. Bauen Sie die Vorrichtung für die Steighöhenmethode auf. Befüllen Sie dazu das Becherglas mit destilliertem Wasser.
  2. Für diesen Versuch stehe ihnen drei verschiedene Kapillare mit den Durchmessern \(d_1 = 0,8\,\text{mm}\), \(d_2 = 1,0\,\text{mm}\) und \(d_3 = 1,5\,\text{mm}\) zur Verfügung.
  3. Messen sie für jede Kapillare die Höhe \(h\) der Flüssigkeitssäule in der Kapillare. Wiederholen Sie die Messung für jede Kapillare insgesamt 3 Mal und notieren Sie die Werte.

Auswertung

Bestimmen Sie für jede Kapillare individuell die Oberflächenspannung von Wasser. Nehmen Sie dazu wieder den Mittelwert und die Standardabweichung der gemessenen Höhen. Sie können die Werte in den folgenden Rechner eingeben:

Kapillare 1:
Kapillare 2:
Kapillare 3:

Für die gemessene Höhe können Sie eine systematische Unsicherheit von \(\Delta_h = \pm 0,5\,\text{mm}\) annehmen. Der Ortsfaktor \(g\) beträgt \(g = 9,81\,\text{m/s}^2\) und die Dichte von Wasser \(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\).

Die Unsicherheit der Oberflächenspannung \(\sigma\) kann wieder mit der Fehlerfortpflanzung bestimmt werden. Als Beispiel können Sie sehen, wie die Unsicherheit \(\Delta_\sigma\) berechnet wird, \(\sigma_\sigma\) wird analog berechnet:

\[ \begin{equation} \Delta_\sigma = \sqrt{\left(\frac{\partial \sigma}{\partial h} \cdot \Delta_h\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2} \cdot g \cdot \rho \cdot r \cdot \Delta_h\right)^2} = \left\vert \frac{1}{2} \cdot g \cdot \rho \cdot r \cdot \Delta_h\right\vert \end{equation} \]

Gehen Sie hierbei ähnlich wie bei der Ring-Methode vor und geben Sie das Ergebnis in derselben Form an. Vergleichen Sie für jede Kapillare die berechnete Oberflächenspannung mit dem Literaturwert von \(\sigma_\text{Wasser} = 72,75\,\frac{\text{mN}}{\text{m}}\) (bei Raumtemperatur).