Transformator

Aufgabe

Der Cosinus des Phasenwinkels \(\varphi\) zwischen Strom und Spannung im Primärkreis eines Transformators ist in Abhängigkeit von der abgegebenen Leistung zu messen.
Der Wirkungsgrad \(\eta\) ist als Funktion der abgegebenen Leistung zu bestimmen.

**Abb. 1:** Abb. 1: Brückenschaltung mit Transformator.

**Abb. 2:** Abb. 2: Phasenverschiebung in den beiden Brückenzweigen.

Grundlagen

Da die Primärspule eines Transformators ein induktiver Widerstand \(Z_L = \sqrt{R_L^2 + (\omega L)^2}\) ist, eilt die Spannung \(U_L\) dem Strom \(I_L\) um einen Phasenwinkel \(\varphi\) (\(0 \lt \varphi \lt \pi/2\)) voraus.

Zur Messung der Phasenverschiebung \(\varphi\) dient die in Abb. 1 gezeigte Brückenschaltung. Da nur im oberen Bereich eine Phasenverschiebung auftritt, lässt sich die Brücke nicht auf Null - sondern nur auf eine endliche Minimalspannung \(U_{min}\) abgleichen. Um \(\varphi\) aus \(U_{min}\) zu ermitteln, werden die Teilspannungen \(U_1\) und \(U_x\) in der komplexen Zahlenebene dargestellt (Abb. 2).

Anmerkung

Die Spannungen sind mit den gleichen Indizes wie die Widerstände bezeichnet; der Strom durch \(R_L\) ist gleich dem Strom durch \(R_x\).

\[ \begin{equation} U_1 = U_{01} \cos \omega t \end{equation} \]

\[ \begin{equation} U_x = U_{0x} (\cos \varphi - i \sin \varphi) t \end{equation} \]

Wegen \(R_x \gg R_L\) ist die Phasenverschiebung \(\varphi\) nahezu konstant. Der Betrag (Länge) von \(U_x\) wird durch \(R_x\) bestimmt. Die (vektorielle) Differenz der Teilspannungen \(U_x\) und \(U_1\) lässt sich am Brückeninstrument ablesen. Durch Verändern von \(R_x\) kann diese Differenzspannung auf ihren kleinsten Wert \(U_{min}\) gebracht werden. Der Betrag von \(U_{min}\) entspricht der Länge des in Abb. 2 mit \(U_{min}\) bezeichneten Lotes auf \(U_x\). Aus dem durch \(U_1\), \(U_x\), \(U_{min}\) und \(U_{min}\) gebildeten rechtwinkligen Dreieck entnimmt man die Beziehungen

\[ \sin \varphi = \frac{U_{min}}{U_1} \qquad \text{und} \qquad \cos \varphi = \sqrt{1 - \left(\frac{U_{min}}{U_1}\right)^2} \]

Der Wirkungsgrad des Transformators ist definiert durch

\[ \eta = \frac{N_s}{N_p} \]

wobei \(N_s = U_s I_s - R_s I_s^2\) die am Belastungswiderstand \(R_s\) abgegebene und \(N_p = U_p I_p \cos \varphi\) die dem Transformator zugeführte Wirkleistung ist.

Durchführung

Für jeden Wert von \(R_s\) sind \(I_p\), \(I_s\) und (durch verändern von \(R_x\)) \(U_{min}\) zu bestimmen. \(U_1\) kann bei \(R_x = 0\) abgelesen werden. Das soll unmittelbar vor und nach jeder Bestimmung von \(U_{min}\) erfolgen. Sind diese beiden Werte von \(U_1\) nicht gleich (Netzspannungsschwankungen), so muss die Messung wiederholt werden. Liegt \(U_{min}\) nahe bei \(U_1\), ist \(U_{min}\) sehr genau abzulesen, damit sich \(\cos \varphi\) zuverlässig aus (2) berechnen lässt. Bei der Bestimmung von \(I_p\) und \(I_s\) soll \(R_x = 0\) sein, damit \(U_p = U\) ist. Für \(R_s\) können durch folgende Schaltungen der fünf Widerstände von je 500 \(\Omega\) die angegebenen, neun verschiedenen Werte gewählt werden:

500 \(\Omega\)
1000 \(\Omega\)
2000 \(\Omega\)
250 \(\Omega\)
333,3 \(\Omega\)
750 \(\Omega\)
200 \(\Omega\)
143 \(\Omega\)
100 \(\Omega\)

Die gemessenen und berechneten Werte sind zu tabellieren und danach \(\cos \varphi\) und \(\eta\) über \(N_s\) aufzutragen.

Angaben

\(R_1 = 861{,}5\,\Omega\); \(R_2 = 3{,}33\,\mathrm{k}\Omega\)