Newtonsche Ringe

Aufgabe

Die Krümmungsradien \(R_1\) und \(R_2\) einer Bikonvexlinse sind mit Hilfe der NEWTONschen Ringe zu bestimmen.
Aus den ermittelten Krümmungsradien ist die Brennweite der Linse zu berechnen.

Achtung

Die Linsenoberfläche bitte nicht berühren!

**Abb. 1:** Abbildung 1: Linse auf ebener Glasplatte.

Grundlagen

Die Krümmungsradien dünner Sammellinsen können interferometrisch bestimmt werden. Man legt die Linse auf eine ebene Glasplatte und beleuchtet sie von oben mit monochromatischem Licht. Um von oben auch beobachten zu können, ist im Mikroskop eine um 45° geneigte Glasplatte angebracht, die das Licht einer seitlich aufgestellten Na-Dampflampe auf die Linse reflektiert.

Derjenige Anteil der einfallenden Welle, welcher an der unteren Linsenfläche reflektiert wird, interferiert mit dem dazu kohärenten, an der oberen Plattenfläche reflektierten Anteil. Ort der Interferenz ist die untere Linsenfläche. Je nach dem Gangunterschied der beiden Teilwellen resultiert dort Helligkeit oder Dunkelheit. Orte gleichen Gangunterschiedes sind Kreise. Man sieht im Mikroskop, das auf die untere Linsenfläche eingestellt wird, konzentrische helle und dunkle Ringe (NEWTONsche Ringe, Interferenzen gleicher Dicke).

Aus deren Durchmesser D lässt sich der untere Krümmungsradius R der Linse berechnen. Nach Abb. 2 gilt:

\[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \left[ 2R - (h - h_0) \right](h-h_0) \]

(Höhensatz)

oder da \(h - h_0 \gg 2R\):

\[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 2 R (h - h_0) \]

\(h_0\) ist der Abstand zwischen Platte und Linse, der infolge unvermeidbarer Verunreinigungen hervorgerufen wird. Die Größenordnung von \(h_0\) beträgt etwa \(10^{-3}\,\mathrm{mm}\).

Für den k-ten dunklen Ring ist \(h = h_0 + \frac{k \lambda}{2}\) und damit:

\[ D_k^2 = 4 R ( k \cdot \lambda - 2 \cdot h_0 ) \]

**Abb. 2:** Abbildung 2: Geometrie zur Bestimmung des Krümmungsradius.

Von einem dunklen Ring zum nächsten nimmt \(D_k^2\) also um den konstanten Betrag \(4R\lambda\) zu. Kennt man \(\lambda\), so kann R aus der Differenz \(D_{k+1}^2 - D_k^2\) berechnet werden. Das Glied mit \(h_0\) entfällt dabei. Aus den Krümmungsradien \(R_1\) und \(R_2\) und dem Brechungsindex n berechnet sich die Brennweite f einer dünnen Bikonvexlinse nach der Formel:

\[ \begin{equation} \frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) \end{equation} \]

Durchführung

Das Mikroskop wird durch Verschieben des Tubus möglichst scharf auf die Ringe eingestellt, so dass das Zentrum in der Mitte der Okularskala liegt. Man misst die Durchmesser (von Umfang zu Umfang) für möglichst viele dunkle Ringe und tabelliert gleich die \(D_k^2\)-Werte. Die Differenzen werden in Schritten z wie folgt bestimmt, um eine möglichst große Genauigkeit zu erzielen:

\[ D_{k+z}^2 - D_k^2 = 4 R \lambda z = \text{konstant} \]

Damit ist:

\[ R = \frac{D_{k+z}^2 - D_k^2}{4 \lambda z} \]

Den geringsten Fehler erhält man, wenn die äußeren Ringe verwendet werden. R ist aus möglichst vielen Differenzkombinationen zu ermitteln.

Angaben

n = 1,43
Wellenlänge: \(\lambda = 5{,}89 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\)
Die Zahlen der Okularskala bedeuten: mm.